Verdelingsfunctie

De verdelingsfunctie van de stochastische variabele ${\displaystyle X}$ op de kansruimte ${\displaystyle (S,\Sigma ,P)}$, is de functie ${\displaystyle F_{X}}$, gedefinieerd voor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ door:

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(\{s\in S|X(s)\leq x\})}$

(Let op het verschil tussen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle x}$.)

De waarde ${\displaystyle F_{X}(x)}$ van de verdelingsfunctie van ${\displaystyle X}$ in het punt ${\displaystyle x}$, is dus de (cumulatieve) kans op waarden van ${\displaystyle X}$ kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle x}$.

Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende, rechtscontinue functie ${\displaystyle F}$ met domein ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en bereik ${\displaystyle [0,1]}$, waarvoor geldt:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$

en

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$

Rechtscontinu betekent:

${\displaystyle \lim _{x\downarrow a}F(x)=F(a)}$

Monotoon stijgend betekent:

${\displaystyle x<y\Rightarrow F(x)\leq F(y)}$

De verdelingsfunctie ${\displaystyle F_{X}}$ en de verdeling ${\displaystyle P_{X}}$ van een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ zijn eeneenduidig met elkaar verbonden door de relatie:

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])}$

Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. In het algemeen garandeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is van een absoluut continu en een singulier gedeelte.

Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker overschrijdingskans aflezen.

Een willekeurig getal ${\displaystyle X}$ tussen 0 en 1 wordt beschreven door de kansdichtheid:

${\displaystyle f_{X}(x)=1}$ voor ${\displaystyle x\in (0,1)}$ en 0 elders.

De bijbehorende verdelingsfunctie is:

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{als }}x\leq 0\\\,x&{\mbox{als }}0<x\leq 1\\1&{\mbox{als }}x>1\end{cases}}}$

Om de kans te bepalen dat ${\displaystyle X}$ tussen 0,33 en 0,44 ligt, berekenen we:

${\displaystyle P(0{,}33<X<0{,}44)=P(X<0{,}44)-P(X<0{,}33)=F_{X}(0{,}44)-F_{X}(0{,}33)=0{,}44-0{,}33=0{,}11}$

• Somfrequentie
• Cumulatieve frequentieanalyse
• Empirische verdelingsfunctie