Kurtosis

Voor kurtosis worden in de statistische literatuur twee verschillende definities gebruikt. Als eerste, wordt kurtosis gedefinieerd als het vierde gestandaardiseerde moment:

${\displaystyle \gamma '_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} [(X-{\mu })^{4}]}{(\operatorname {E} [(X-{\mu })^{2}])^{2}}}}$

waarin ${\displaystyle \mu _{4}={\rm {E}}(X-\mu )^{4}}$ het vierde centrale moment is, en ${\displaystyle \sigma }$ de standaarddeviatie.

Voor een normale verdeling is ${\displaystyle \gamma '_{2}=3}$. Om vergelijking met de normale verdeling te vergemakkelijken, wordt algemeen de volgende definitie van kurtosis gehanteerd, die ook wel exces kurtosis genoemd wordt.

${\displaystyle \gamma _{2}=\gamma '_{2}-3}$

Een wiskundige theoretische reden voor deze aangepaste definitie is dat de kurtosis nu gelijk is aan het quotiënt van het vierde cumulant (${\displaystyle \kappa _{4}}$) en het kwadraat van de tweede cumulant (${\displaystyle \kappa _{2}}$, die gelijk is aan de variantie).

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}}$

Een praktische reden is dat volgens deze formule de normale verdeling een kurtosis gelijk aan nul heeft.

• Een positieve kurtosis duidt op een stevige piekvorm van de kansverdeling, dit wordt leptokurtosisch genoemd. Voorbeelden van leptokurtosische verdelingen zijn de laplaceverdeling en de logistische verdeling.
• Een negatieve kurtosis duidt op een platte vorm van de kansverdeling, dit wordt platykurtosisch genoemd. Voorbeelden hiervan zijn de uniforme verdeling. De meest platykurtosische verdeling is de Bernoulli-verdeling met parameter ${\displaystyle p=1/2}$, deze heeft een kurtosis van –2.
• Verdelingen met kurtosis 0 worden mesokurtosisch genoemd. Voorbeelden hiervan zijn de normale verdelingen.

• Als ${\displaystyle X}$ normaal verdeeld is, is ${\displaystyle \gamma _{2}(X)=0}$.
• Als ${\displaystyle Y}$ de som is van ${\displaystyle n}$ onafhankelijke, identiek als ${\displaystyle X}$ verdeelde stochastische variabelen, dan is ${\displaystyle \gamma _{2}(Y)=\gamma _{2}(X)/n}$.
• Als ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, alle met dezelfde variantie, dan geldt:

${\displaystyle \gamma _{2}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{2}(X_{i})}$.

NB: deze drie eigenschappen gelden voor ${\displaystyle \gamma _{2}}$ en niet voor ${\displaystyle \gamma '_{2}}$.

De kurtosis van een verdeling kan geschat worden op basis van de uitkomst ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ van een aselecte steekproef uit de verdeling. De steekproefkurtosis is de momentschatter van de kurtosis:

${\displaystyle g_{2}={\frac {n\,\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}-3}$

waarin ${\displaystyle {\overline {x}}}$ het steekproefgemiddelde is.

Omdat dit geen zuivere schatter voor de populatiekurtosis is, wat wil zeggen dat ${\displaystyle {\rm {E}}g_{2}\neq \gamma _{2}}$, wordt in praktijk, en in de meeste softwarepakketten, meestal de volgende, wel zuivere, schatter gebruikt

${\displaystyle G_{2}={\frac {n-1}{(n-2)(n-3)}}((n+1)\,g_{2}+6)}$