Kansrekening

Kansrekening of waarschijnlijkheidsrekening, ook wel kansberekening, is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een rol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. De kansrekening tracht mathematische hulpmiddelen aan te reiken aan een zeer breed scala van maatschappelijke activiteiten en wetenschappen, om binnen een omgeving met onzekerheden toch gefundeerde keuzes te kunnen maken of conclusies te kunnen trekken. Als zodanig is kansrekening een belangrijk hulpmiddel in de statistiek. Inmiddels is kansrekening een sterk ontwikkelde tak van de wiskunde, met een groot aantal deelgebieden.

Deel van een serie artikelen over
Formules van een stochastisch proces
––– Kwantiteit –––

Complex getal · Geheel getal · Natuurlijk getal · Oneindigheid · Reëel getal · Rekenkunde

––– Structuur en ruimte –––

Algebra · Functie · Getaltheorie · Goniometrie · Groepentheorie Meetkunde · Topologie

––– Verandering –––

Analyse · Calculus · Chaostheorie · Differentiaalvergelijking ·
Dynamisch systeem · Vectoren

––– Toegepaste wiskunde –––

Discrete wiskunde · Grafentheorie · Informatietheorie · Kansrekening · Statistiek · Wiskundige fysica

Portaal Wiskunde

Het definitiekader wordt aangegeven door de axioma's van de kansrekening.

Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele en de direct daarmee samenhangende kansverdeling. Andere belangrijke begrippen binnen de kansrekening en statistiek zijn verwachting en variantie.

Kansrekening is een belangrijk hulpmiddel in steekproeftheorie, statistiek en informatietheorie, met toepassingen in onder andere de natuurkunde, biologie, sociologie, psychologie en economie.

Verdere achtergrond en onderbouwing van de axioma's van de kansrekening wordt gegeven in de maattheorie, die zich bezighoudt met het begrip 'maat', dat behalve in de kansrekening ook wordt toegepast in de integraalrekening.

Een deelgebied van de kansrekening is de Bayesiaanse kansrekening.

Theorie

In een situatie waarin het toeval een rol speelt zal tevoren vaak niet bekend zijn wat de uitkomst van een waarneming of meting is. Wel kan meestal aangegeven worden wat de mogelijke uitkomsten zijn. Welk ogenaantal boven zal komen bij een worp met een dobbelsteen, weten we tevoren niet - dat is ook juist de bedoeling - maar we weten wel dat de mogelijkheden 1 tot en met 6 zijn. De verzameling van de mogelijke uitkomsten van zo'n toevalsexperiment wordt 'uitkomstenruimte' (of 'uitkomstenverzameling') genoemd en veelal aangeduid met Ω. Behalve de vraag welke uitkomst de worp met de dobbelsteen heeft, is er ook behoefte om vragen als "Is de uitkomst een even ogenaantal?" of "Heb je meer dan 4 gegooid?" te beantwoorden. Deze vragen hebben betrekking op meer dan een uitkomst, de eerste op de uitkomsten 2, 4 en 6, en de tweede op de uitkomsten 5 en 6. Het resultaat 'even uitkomst' net zoals het resultaat 'meer ogen dan 4' wordt een gebeurtenis genoemd en voorgesteld door respectievelijk de deelverzamelingen {2,4,6} en {5,6} van de uitkomstenruimte. Omdat niet alle uitkomstenruimten zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen, blijken niet altijd alle deelverzamelingen van een uitkomstenruimte als gebeurtenis toegelaten te zijn. Daarom wordt apart aangegeven wat de verzameling is van deelverzamelingen die wel 'geschikt' zijn als gebeurtenis. Om rekentechnische reden worden zekere eisen gesteld aan deze verzameling van gebeurtenissen. Is bij de (eerlijke) dobbelsteen eenvoudig te zien hoe we het begrip 'kans' moeten introduceren, immers alle uitkomsten zullen gelijke kans van optreden hebben en dus, omdat de totale kans op 1 (= 100%) is genormeerd, kans 1/6 hebben. Het spreekt daarna voor zich hoe de kans op een gebeurtenis bepaald moet worden. Omdat uitkomstenruimten lang niet altijd zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen en ook niet alle uitkomsten even waarschijnlijk hoeven te zijn, wordt het begrip kans axiomatisch ingevoerd. Daarvoor wordt het begrip relatieve frequentie als model gebruikt. De kans, aangeduid met Pr of 'P', zal aan een gebeurtenis de kans van optreden Pr(A) toekennen volgens een drietal vastgestelde regels. De begrippen: uitkomst, gebeurtenis en kans vormen de basis waarop de gehele kansrekening rust.

Kansen

De kans dat een gebeurtenis optreedt wordt weergegeven met een getal in het interval [0, 1]. Bij een continue uniforme verdeling is de kans op elke afzonderlijke waarde 0. Een kans 0 betekent dus niet dat iets onmogelijk is. De kans op de logische negatie hiervan (de kans dat de uitkomst niet die bepaalde waarde is) is hierbij 1. Een kans 1 betekent dus niet dat iets zeker is. In de wiskunde wordt dit genoemd bijna zeker, analoog aan bijna overal, niet te verwarren met de alledaagse betekenis dat de kans bijna 1 is. Bij gemeten waarden is een en ander echter slechts een theoretische kwestie, omdat oneindig nauwkeurig meten van een continue variabele niet mogelijk is.

Verder kan iets erg onwaarschijnlijk zijn, maar wel een kans groter dan 0 hebben, of erg waarschijnlijk zijn, maar wel een kans kleiner dan 1. Men kan zeggen dat morgen in ieder geval de zon weer op komt, maar wat als een extreem onwaarschijnlijke gebeurtenis de zon zou vernietigen? Wat als er een kernoorlog uit zou breken en de lucht eeuwenlang bedekt is met as en rook? Vaak ronden we dit soort kansen af op 0 of 1, vanwege het onwaarschijnlijke karakter ervan.

Er zijn echter situaties waarin zeer kleine kansen gemakkelijk een verkeerde indruk wekken. Maakt het veel verschil of de kans op een verkeersongeluk bij het oversteken van een weg 10−6 of 10−9 is? Op het eerste gezicht is het moeilijk hier verschil tussen te ervaren. Als we echter 500.000 keer in ons leven een weg oversteken (dus dagelijks 20 à 30 keer), geeft een kans van 10−6 een redelijke kans (ca. 40%) op een ongeluk, terwijl deze kans bij 10−9 alsnog verwaarloosbaar klein is, namelijk ca. 0,05%.

De grootte van kansen wordt deels beredeneerd op basis van symmetrie, deels berekend op basis van bekende kansen, en deels benaderd op basis van statistische gegevens over spontaan of bij experimenten voorgekomen gebeurtenissen. Voor zover dit alles niet mogelijk is, of als het gaat om minder belangrijke zaken, is er nog de mogelijkheid van subjectief inschatten.

Kinderen

Kinderen vanaf 5 jaar kunnen ongeveer even goed kansen inschatten als volwassenen, maar net zoals bij volwassenen kunnen ze worden beïnvloed door de schrik te verliezen, of als alles goed gaat, meer risico's te nemen. Deze vroege ontwikkeling voor kansberekening duidt erop dat het genetisch geprogrammeerd werd. Of deze eigenschap een selectief voordeel heeft, zoals Darwinisten aannemen, is nog niet sluitend bewezen en blijft speculatief.[1]

Zie ook
Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Discrete Kansrekening.
Zie de categorie Probability theory van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.