Hyperbolische functie
In de wiskunde zijn de hyperbolische functies analogieën van de goniometrische functies. Net als de sinus en de cosinus de coördinaten zijn van een punt op de eenheidscirkel, gegeven door de vergelijking , zo zijn de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus de coördinaten van een punt op de hyperbool, gegeven door de vergelijking .
De zes belangrijkste hyperbolische functies zijn:
- sinus hyperbolicus (sinh)
- cosinus hyperbolicus (cosh)
- tangens hyperbolicus (tanh)
- cotangens hyperbolicus (coth)
- secans hyperbolicus (sech)
- cosecans hyperbolicus (csch)
Verder hebben hyperbolische en goniometrische functies vergelijkbare somformules en bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arsinh (lees: areaalsinus hyperbolicus).
Het argument van de hyperbolische functies wordt de hyperboolhoek genoemd.
Definitie
De sinus hyperbolicus (sinh) en cosinus hyperbolicus (cosh) zijn gedefinieerd als:
In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens berekend worden uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:
Toepassingen
- Een touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
- Oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn van de vorm .
Reeksontwikkelingen
De hyperbolische functies kunnen ook als machtreeks geschreven worden.
met
- het n-de Bernoulligetal,
- het n-de Eulergetal
Inverse functies van de hyperbolische functies
De inverse functies van de hyperbolische functies zijn de areaalfuncties.
Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies
De hyperbolische functies staan in een directe relatie met de overeenkomende goniometrische functies voor complexe argumenten.
Daarin is steeds de imaginaire eenheid.
Eigenschappen
Identiteiten
Negatief argument
De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus en tangens hyperbolicus oneven functies zijn:
Somformules
Afgeleiden
Omrekentabel
Functie | ||||
---|---|---|---|---|
NB: is het teken van x.
Wiskundige functies | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|