Machtreeks

In de wiskunde is een machtreeks (in één variabele) een reeks van de vorm

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots

Daarin heet het (complexe) getal $a_{n}$ de coëfficiënt van de $n$ -de macht van de variabele. Een machtreeks is een complexwaardige functie in de variabele $x$ . Een voorbeeld van een machtreeks is de maclaurin-reeks.

Meer algemeen is een machtreeks gecentreerd rondom een (complex) getal $c$ een reeks van de volgende vorm:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\ldots

De complexe waarden van $x-c$ waar de machtreeks absoluut convergeert, vormen:

de gehele verzameling van de complexe getallen, $\mathbb {C}$ , of
het singleton {0}, of
een open cirkelschijf rondom 0.

De convergentiestraal van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2). In geval 1 representeert de machtreeks een gehele functie.

Taylorreeksen

Elke holomorfe functie $g(z)$ kan voor elk punt $c$ in het domein geschreven worden in de vorm van een machtreeks rond $c$ . Deze machtreeks is de taylorreeks van $g$ :

g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{n}}{n!}}g^{(n)}(c)

Hierbij is $g^{(n)}$ de $n$ -de afgeleide van de functie $g.$

De convergentiestraal van een taylorreeks is de afstand van $c$ tot het dichtstbijzijnde punt zodanig dat het domein niet zo kan worden uitgebreid dat het dit punt bevat terwijl de functie nog steeds holomorf is (analytische voortzetting), dus het dichtstbijzijnde punt waarbij een singulariteit van de functie $g$ onvermijdelijk is, dus waar een pool of essentiële singulariteit is.

Voorbeelden

Meetkundige reeks

Als alle coëfficiënten in een machtreeks gelijk zijn aan 1, krijgt men een meetkundige reeks

1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots

Deze is absoluut convergent dan en slechts dan als de absolute waarde van $z$ strikt kleiner is dan 1. Voor gewone convergentie geldt hetzelfde, het convergentiegebied is een open cirkelschijf om 0 met straal 1. De som van de reeks is daar

{\frac {1}{1-z}}

Deze functie is meer algemeen, voor $c\neq 1$ , te schrijven als machtreeks om $z=c$ :

{\frac {1}{1-z}}={\frac {1}{1-c}}+{\frac {z-c}{(1-c)^{2}}}+{\frac {(z-c)^{2}}{(1-c)^{3}}}+\ldots

Deze is convergent voor $|z-c|<|1-c|$ . De convergentiecirkel gaat dus steeds door de singulariteit $z=1$ .

Deze meetkundige reeksen zijn de taylorreeksen van de functie ${\frac {1}{1-z}}$ .

Complexe singulariteiten

De functie ${\frac {1}{1+z^{2}}}$ is analytisch als functie op de reële rechte. Haar taylorreeks heeft echter convergentiestraal 1 omdat er singulariteiten liggen bij de imaginaire getallen $i$ en $-i$ .

Analytisch als reële vs. complexe functie

Van de reëelwaardige functie van reële getallen

f(x)=e^{-1/x^{2}}

voor

x\neq 0

en

f(0)=0

zijn alle afgeleiden nul voor $x=0.$ Deze functie is echter als complexe functie op een complexe omgeving van 0 niet differentieerbaar (zelfs niet continu) in 0, en heeft dus geen taylorreeks. De taylorreeks van de eerstgenoemde functie is constant 0, en dus niet gelijk aan die functie.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.