Tweeplaatsige relatie

Van een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R=(G,A,B)}$ wordt ${\displaystyle G}$ de grafiek van ${\displaystyle R}$ genoemd, ${\displaystyle A}$ het domein van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle B}$ het codomein van ${\displaystyle R}$. Men zegt ook dat ${\displaystyle R}$ een relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is. Van een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R=(G,A,A)}$, waarvan domein en codomein hetzelfde zijn, wordt gezegd dat ${\displaystyle R}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ is of dat ${\displaystyle R}$ een tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle A}$ is.

Van het koppel ${\displaystyle (a,b)\in G}$ worden ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ argumenten van ${\displaystyle R}$ genoemd. Daarbij is ${\displaystyle a}$ een linker argument en ${\displaystyle b}$ een rechter argument. Verder zegt men in dit geval dat ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle R}$-relatie staat tot ${\displaystyle b}$. Als uit de context duidelijk is welke relatie bedoeld wordt, dan zegt men ook simpelweg dat ${\displaystyle a}$ in relatie tot ${\displaystyle b}$ staat. Wanneer de definitie gebruikt wordt waarbij een tweeplaatsige relatie een verzameling geordende paren is, zegt men dat ${\displaystyle a}$ in relatie tot ${\displaystyle b}$ staat als ${\displaystyle (a,b)\in R}$.

De lege relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ waarvan de grafiek de lege verzameling is. Als ${\displaystyle R}$ de lege relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is, dan geldt dat er geen ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ zijn zodanig dat ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle R}$-relatie staat tot ${\displaystyle b}$.

De universele relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is de tweeplaatsige relatie waarvan de grafiek het cartesisch product van ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is. Als ${\displaystyle R}$ de universele relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is, geldt voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ dat ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle R}$-relatie staat tot ${\displaystyle b}$.

De uitspraak “${\displaystyle a}$ staat in ${\displaystyle R}$-relatie tot ${\displaystyle b}$” wordt op verschillende manieren genoteerd:

• (functienotatie) ${\displaystyle R(a,b)}$
• (infixnotatie) ${\displaystyle aRb}$
• (Poolse notatie) ${\displaystyle Rab}$

De functienotatie komt overeen met de karakteristieke functie van de grafiek van ${\displaystyle R}$.

Zij ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$ tweeplaatsige relaties over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. De doorsnede van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$, genoteerd als ${\displaystyle R\cap S}$, is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ geldt: ${\displaystyle a(R\cap S)b}$ desda ${\displaystyle aRb}$ en ${\displaystyle aSb}$.

De vereniging van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$, genoteerd als ${\displaystyle R\cup S}$, is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ geldt: ${\displaystyle a(R\cup S)b}$ desda ${\displaystyle aRb}$ of ${\displaystyle aSb}$ (of beide).

Wanneer de definitie van tweeplaatsige relatie gebruikt wordt waarbij de relatie een verzameling geordende paren is, overeenkomstig met de grafiek van dezelfde relatie onder de andere genoemde definitie, dan zijn de doorsnede en vereniging van tweeplaatsige relaties simpelweg de doorsnede en de vereniging zoals gedefinieerd op verzamelingen in het algemeen.

Zij ${\displaystyle R}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. Het complement van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{c}}$ of als ${\displaystyle {\overline {R}}}$, is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ geldt: ${\displaystyle aR^{c}b}$ desda niet ${\displaystyle aRb}$.

Merk op dat voor alle tweeplaatsige relaties ${\displaystyle R}$ geldt dat

${\displaystyle (R^{c})^{c}=R}$.

Zij ${\displaystyle R}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$, en ${\displaystyle S}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle C}$. De compositie of samenstelling van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$, genoteerd als ${\displaystyle R\circ S}$, is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle C}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle c\in C}$ geldt: ${\displaystyle a(R\circ S)c}$ desda er een ${\displaystyle b\in B}$ is zodanig dat ${\displaystyle aRb}$ en ${\displaystyle bSc}$.

Voor alle tweeplaatsige relaties ${\displaystyle R}$ over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle S}$ over ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle C}$, en ${\displaystyle T}$ over ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle D}$ geldt dat

(associativiteit) ${\displaystyle (R\circ S)\circ T=R\circ (S\circ T)}$.

Daarom wordt meestal simpelweg ${\displaystyle R\circ S\circ T}$ geschreven in plaats van ${\displaystyle (R\circ S)\circ T}$ of ${\displaystyle R\circ (S\circ T)}$.

Vaak wordt de compositie van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$ genoteerd als ${\displaystyle S\circ R}$ in plaats van ${\displaystyle R\circ S}$, zodat de notatie in overeenstemming is met de notatie voor functie-compositie. Deze keuze doet recht aan het inzicht dat compositie van tweeplaatsige relaties en compositie van functies hetzelfde inhouden, omdat functies bijzondere gevallen van tweeplaatsige relaties zijn.

Zij ${\displaystyle R}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. De inverse of converse van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{-1}}$ , is de tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle A}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle a\in A}$ en ${\displaystyle b\in B}$ geldt: ${\displaystyle bR^{-1}a}$ desda ${\displaystyle aRb}$.

Merk op dat voor alle tweeplaatsige relaties ${\displaystyle R}$ het volgende geldt:

• ${\displaystyle (R^{-1})^{-1}=R}$.
• Als ${\displaystyle R}$ links-volledig is, dan is ${\displaystyle R^{-1}}$ rechts-volledig.
• Als ${\displaystyle R}$ rechts-volledig is, dan is ${\displaystyle R^{-1}}$ links-volledig.
• Als ${\displaystyle R}$ links-definiet is, dan is ${\displaystyle R^{-1}}$ rechts-definiet.
• Als ${\displaystyle R}$ rechts-definiet is, dan is ${\displaystyle R^{-1}}$ links-definiet.
• Als ${\displaystyle R}$ bijectief is, dan is ${\displaystyle R^{-1}}$ ook bijectief.

Zij ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle S}$ tweeplaatsige relaties over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle P}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle A}$, en ${\displaystyle Q}$ een tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle Y}$.

• De doorsnede van ${\displaystyle R}$ en het complement van ${\displaystyle R}$ is de lege relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle R\cap R^{c}=(\varnothing ,A,B)}$.

• De vereniging van ${\displaystyle R}$ en het complement van ${\displaystyle R}$ is de universele relatie over ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle R\cup R^{c}=(A\times B,A,B)}$.

• De inverse van het complement van ${\displaystyle R}$ is hetzelfde als het complement van de inverse van ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle (R^{c})^{-1}=(R^{-1})^{c}}$.

• De inverse van de compositie van ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle Q}$ is hetzelfde als de compositie van de inverse van ${\displaystyle Q}$ en de inverse van ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle (R\circ Q)^{-1}=Q^{-1}\circ R^{-1}}$.

• De inverse is distributief over zowel doorsnede als vereniging:

${\displaystyle (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}}$,

${\displaystyle (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}}$ .

• Compositie is zowel links- als rechts-distributief over vereniging: (Merk op dat dit niet voor de doorsnede geldt.)

${\displaystyle P\circ (R\cup S)=(P\circ R)\cup (P\circ S)}$,

${\displaystyle (R\cup S)\circ Q=(R\circ Q)\cup (S\circ Q)}$.

Zij ${\displaystyle R}$ een homogene tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle X}$.

• Dat ${\displaystyle R}$ voortzettend is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x\in X}$ er een ${\displaystyle y\in X}$ is zodanig dat ${\displaystyle xRy}$ .
• Dat ${\displaystyle R}$ reflexief is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x\in X}$ geldt dat ${\displaystyle xRx}$.

(Alternatieve definitie) … betekent dat ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\subseteq G}$, waarbij ${\displaystyle G}$ de grafiek van ${\displaystyle R}$ is en ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ de identieke afbeelding van ${\displaystyle X}$.

• Dat ${\displaystyle R}$ irreflexief is, betekent dat er geen ${\displaystyle x\in X}$ is zodanig dat ${\displaystyle xRx}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ symmetrisch is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ dan ${\displaystyle yRx}$.

(Alternatieve definitie) … betekent dat ${\displaystyle G'\subseteq G}$, waarbij ${\displaystyle G}$ de grafiek van ${\displaystyle R}$ is en ${\displaystyle G'}$ de grafiek van ${\displaystyle R^{-1}}$ 

• Dat ${\displaystyle R}$ asymmetrisch is, betekent dat er geen paar ${\displaystyle x,y\in X}$ is met ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle yRx}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ antisymmetrisch is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle yRx}$, dan ${\displaystyle x=y}$ .
• Dat ${\displaystyle R}$ transitief is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle yRz}$, dan ${\displaystyle xRz}$.

(Alternatieve definitie) … betekent dat ${\displaystyle G'\subseteq G}$, waarbij ${\displaystyle G}$ de grafiek van ${\displaystyle R}$ is en ${\displaystyle G'}$ de grafiek van ${\displaystyle R\circ R}$.

• Dat ${\displaystyle R}$ intransitief is, betekent dat er geen ${\displaystyle x,y,z\in X}$ zijn zodanig dat ${\displaystyle xRy}$ , ${\displaystyle yRz}$ en ${\displaystyle xRz}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ dicht is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ dan is er een ${\displaystyle z\in X}$ zodanig dat ${\displaystyle xRz}$ en ${\displaystyle zRy}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ euclidisch is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle xRz}$, dan ${\displaystyle yRz}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ samenhangend is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle xRz}$, dan ${\displaystyle yRz}$ of ${\displaystyle zRy}$.
• Dat ${\displaystyle R}$ connex of totaal is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt dat ${\displaystyle xRy}$ of ${\displaystyle yRx}$ (of beide).
• Dat ${\displaystyle R}$ trichotoom is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ precies een van de volgende uitspraken waar is: ${\displaystyle xRy}$ , ${\displaystyle yRx}$ of ${\displaystyle x=y}$ .
• Dat ${\displaystyle R}$ deterministisch is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle xRz}$, dan ${\displaystyle y=z}$. (Vgl. rechts-definitiet of functioneel.)
• Dat ${\displaystyle R}$ convergent is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle xRz}$, dan is er een ${\displaystyle u\in X}$ zodanig dat ${\displaystyle yRu}$  en ${\displaystyle zRu}$ .
• Dat ${\displaystyle R}$ divergent is, betekent dat voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle xRy}$ , ${\displaystyle xRz}$ en ${\displaystyle y\neq z}$ dan is er geen ${\displaystyle u\in X}$ zodanig dat ${\displaystyle yRu}$ en ${\displaystyle zRu}$ .

Zij ${\displaystyle R}$ een homogene tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle X}$. Als ${\displaystyle Y\subseteq X}$ dan is de restrictie van ${\displaystyle R}$ tot ${\displaystyle Y}$ de homogene tweeplaatsige relatie ${\displaystyle S}$ op ${\displaystyle Y}$ waarvoor geldt dat

voor alle ${\displaystyle x,y\in Y}$ geldt: ${\displaystyle xSy}$ desda ${\displaystyle xRy}$ .

Informeel gesproken is een restrictie van een homogene tweeplaatsige relatie het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als ${\displaystyle R}$ een of meer van de eigenschappen reflexief, irreflexief, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitief, intransitief, euclidisch, totaal, trichotoom, deterministisch of divergent heeft, dan heeft iedere restrictie van ${\displaystyle R}$ dezelfde eigenschappen ook. Als gevolg is iedere restrictie van een equivalentierelatie ook een equivalentierelatie, iedere restrictie van een partiële orde ook een partiële orde, enz.

Als ${\displaystyle S}$ een restrictie van ${\displaystyle R}$ is, dan heet ${\displaystyle R}$ een extensie van ${\displaystyle S}$.

Zij ${\displaystyle R}$ een homogene tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle X}$.

• De reflexieve afsluiting van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{=}}$ , is de tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R^{=}}$ op ${\displaystyle X}$ waarvoor geldt dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt dat ${\displaystyle xR^{=}Y}$ desda ${\displaystyle xRy}$ of ${\displaystyle x=y}$ .
• De reflexieve reductie van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{\neq }}$ , is de tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R^{\neq }}$ op ${\displaystyle X}$ waarvoor geldt dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt dat ${\displaystyle xR^{\neq }y}$ desda ${\displaystyle xRy}$ en ${\displaystyle x\neq y}$.
• De transitieve afsluiting van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{+}}$, is de kleinste transitieve tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R^{+}}$ over ${\displaystyle X}$ waarvoor geldt: als ${\displaystyle xRy}$ dan ${\displaystyle xR^{+}y}$ .
• De transitieve reductie van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{-}}$, is de kleinste tweeplaatsige relatie over ${\displaystyle X}$ met dezelfde transitieve afsluiting als van ${\displaystyle R}$.
• De reflexief-transitieve afsluiting van ${\displaystyle R}$, genoteerd als ${\displaystyle R^{*}}$ , is de relatie ${\displaystyle (R^{+})^{=}=(R^{=})^{+}}$.
• De transitief-reflexieve reductie van ${\displaystyle R}$ is de relatie ${\displaystyle (R^{-})^{\neq }=(R^{\neq })^{-}}$.

Schematische weergave van een equivalentierelatie. De lijnen die punten met zichzelf verbinden zijn omwille van eenvoud weggelaten.

Een equivalentierelatie is een homogene tweeplaatsige relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is.

Gegeven een equivalentierelatie ${\displaystyle \sim }$ op ${\displaystyle X}$, kan voor iedere ${\displaystyle x\in X}$ de verzameling van alle elementen waarmee ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \sim }$-relatie staat, gedefinieerd worden:

${\displaystyle [X]=\{y\in X\mid y\sim x\}}$.

Deze verzameling wordt de equivalentieklasse van ${\displaystyle x}$ genoemd, of een equivalentieklasse van ${\displaystyle x}$.

Equivalentieklassen hebben de volgende eigenschappen:[5]

• Voor alle ${\displaystyle x\in X}$ geldt dat ${\displaystyle x\in [X]}$.
• Iedere ${\displaystyle x\in X}$ zit in precies één equivalentieklasse van ${\displaystyle x}$.
• Voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: ${\displaystyle x\sim y}$ desda ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in dezelfde equivalentieklasse van ${\displaystyle x}$ zitten.

De verzameling

${\displaystyle X/\sim =\{\,[x]\mid x\in X\}}$

van alle equivalentieklassen van ${\displaystyle x}$ wordt de quotiëntverzameling van ${\displaystyle X}$ onder ${\displaystyle \sim }$ genoemd.

Quotiëntverzamelingen hebben de volgende eigenschappen:[5]

• Iedere equivalentierelatie op ${\displaystyle X}$ levert een unieke quotiëntverzameling op. Er zijn, met andere woorden, geen twee verschillende equivalentierelaties op ${\displaystyle X}$ die dezelfde quotiëntverzameling van ${\displaystyle X}$ opleveren.
• ${\displaystyle X/\sim }$  is een partitie van ${\displaystyle X}$. Dat wil zeggen dat ieder element van ${\displaystyle X}$ in precies een van de equivalentieklassen ${\displaystyle [x]\in X/\sim }$ zit, de vereniging van alle equivalentieklassen ${\displaystyle [x]\in X/\sim }$ gelijk is aan ${\displaystyle X}$ en dat de lege verzameling geen element van ${\displaystyle X/\sim }$ is.

Het blijkt bovendien dat iedere partitie van ${\displaystyle X}$ ook een quotiëntverzameling van ${\displaystyle X}$ is onder een zekere equivalentierelatie op ${\displaystyle X}$. Hieruit volgt, samen met de bovenstaande eigenschappen, dat er een een-op-een-correspondentie is tussen alle mogelijke partities van ${\displaystyle X}$ en alle mogelijke equivalentierelaties op ${\displaystyle X}$.

Een belangrijke toepassing van (homogene) tweeplaatsige relaties is het beschrijven van orde door middel van orderelaties. Vier basale soorten orderelaties zijn partiële ordes, totale ordes, preordes en strikte zwakke ordes. Daarnaast bestaan er nog andere soorten orderelaties.

Een homogene tweeplaatsige relatie kan ook geïnterpreteerd worden als een graaf. De elementen uit het domein komen dan overeen met de knopen van de graaf en de elementen uit de grafiek met de zijden van de graaf.

De al eerder genoemde relatie houden van is een voorbeeld van een homogene tweeplaatsige relatie op de verzameling van alle mensen.[6] Voorbeelden uit de wiskunde zijn legio. Hier volgen er enkele.

• Is-groter-dan is een overbekend voorbeeld van een homogene tweeplaatsige relatie op getallen of, meer in het algemeen, op numerieke expressies. Merk op dat is-groter-dan een strikte totale orde is.
• Is-gelijk-aan is zonder twijfel het meest voorkomende voorbeeld van een homogene tweeplaatsige relatie. De relatie is-gelijk-aan is bovendien het meest voor de hand liggende voorbeeld van een equivalentierelatie. Naïef bezien zou het domein van deze relatie de verzameling van alle objecten moeten zijn, of ten minste de verzameling van alle wiskundige objecten. Dit leidt echter tot de Russell-paradox. Om dit te omzeilen zouden er verschillende is-gelijk-aan-relaties gedefinieerd kunnen worden voor verschillende domeinen: een is-gelijk-aan voor getallen, een is-gelijk-aan voor geometrische figuren, etc. Een andere oplossing is de (tweeplaatsige) relatie te herdefiniëren in termen van klassen in plaats van verzamelingen.
• Omdat afbeeldingen ook tweeplaatsige relaties zijn, is iedere identiteitsafbeelding ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ een homogene tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle X}$. Iedere identiteitsafbeelding ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ is zowel een een-op-een-correspondentie als een equivalentierelatie. Bovendien is de identiteitsafbeelding van ${\displaystyle X}$ de enige relatie op ${\displaystyle X}$ die zowel een een-op-een-correspondentie als een equivalentierelatie is. Overigens is de identiteitsafbeelding van ${\displaystyle X}$ de kleinst mogelijke equivalentierelatie op ${\displaystyle X}$. De grootst mogelijke equivalentierelatie op ${\displaystyle X}$ is de universele tweeplaatsige endorelatie op ${\displaystyle X}$.

Aantal mogelijke tweeplaatsige relaties op een verzameling met ${\displaystyle n}$ elementen

${\displaystyle n}$	Alle relaties	Reflexieve relaties	Transitieve relaties	Preordes	Partiële ordes	Totale preordes	Totale ordes	Equivalentierelaties
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	4	13	4	3	3	2	2
3	512	64	171	29	19	13	6	5
4	65536	4096	3994	355	219	75	24	15
OEIS	A002416	A053763	A006905	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

• Het aantal irreflexieve relaties is gelijk aan het aantal reflexieve relaties.
• Het aantal intransitieve relaties is gelijk aan het aantal transitieve relaties.
• Het aantal strikte partiële ordes is gelijk aan het aantal partiële ordes.
• Het aantal strikte zwakke ordes is gelijk aan het aantal totale preordes.
• Het aantal strikte totale ordes is gelijk aan het aantal totale ordes.
• Het aantal (homogene) een-op-een-correspondenties is gelijk aan het aantal totale ordes.
• Het aantal equivalentierelaties is gelijk aan het aantal partities van dezelfde verzameling.