Euclidische relatie

Een binaire relatie ${\displaystyle R}$ op een verzameling ${\displaystyle X}$ is euclidisch (ook wel genoemd rechts euclidisch) als die relatie de volgende eigenschap heeft:

• Voor alle ${\displaystyle a,b,c\in X}$ geldt: als ${\displaystyle a}$ de relatie ${\displaystyle R}$ heeft met zowel ${\displaystyle b}$ als met ${\displaystyle c,}$ dan heeft ${\displaystyle b}$ de relatie ${\displaystyle R}$ met ${\displaystyle c.}$[1]

of iets eenvoudiger in woorden:

• Als ${\displaystyle a}$ in relatie staat tot ${\displaystyle b}$ en tot ${\displaystyle c}$, dan staat ${\displaystyle b}$ in relatie tot ${\displaystyle c}$.

Dit is als volgt te formuleren in de predicatenlogica:

${\displaystyle \forall a,b,c\in X\,(a\,R\,b\land a\,R\,c\to b\,R\,c).}$

Anderzijds, als ${\displaystyle R}$ op ${\displaystyle X}$ links euclidisch is, dan is voor alle ${\displaystyle a,b,c\in X}$: als ${\displaystyle b}$ de relatie ${\displaystyle R}$ heeft met ${\displaystyle a}$ en ook ${\displaystyle c}$ heeft de relatie ${\displaystyle R}$ met ${\displaystyle a,}$ dan heeft ${\displaystyle b}$ de relatie ${\displaystyle R}$ met ${\displaystyle c}$. Formeel:

${\displaystyle \forall a,b,c\in X\,(b\,R\,a\land c\,R\,a\to b\,R\,c)}$

De eigenschap euclidisch verschilt van de eigenschap transitief. Alleen als een transitieve relatie ook symmetrisch is, dan is de relatie ook euclidisch en alleen een symmetrische euclidische relatie is ook transitief.

Een relatie die euclidisch en reflexief is, is ook symmetrisch en is daarom een equivalentierelatie.[1]