Lege verzameling

De lege verzameling, genoteerd als ∅, is de verzameling met de eigenschap dat voor elk denkbaar object geldt, dat het geen element van ∅ is.

${\displaystyle \forall x:x\not \in \varnothing }$

De lege verzameling wordt meestal genoteerd met het door Bourbaki ingevoerde symbool ${\displaystyle \varnothing }$, een doorgestreepte cirkel. Een variant daarop is ${\displaystyle \emptyset }$, een doorgestreepte nul. Ook wordt de lege verzameling wel als een daadwerkelijk lege verzameling {} genoteerd (wat ook wel in deze encyclopedie gebruikt wordt). Het symbool ∅ is in HTML beschikbaar als ∅ of als ∅. In Unicode is het gecodeerd als U+2205 en in LaTeX als \varnothing en de variant als \emptyset. Het vergelijkbare symbool ⌀ voor diameter heeft de Unicode U+2300, en de Scandinavische letter Ø de Unicodes U+00D8 en U+00F8.

• Elke verzameling ${\displaystyle A}$ heeft de lege verzameling als deelverzameling:

${\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A}$

• Voor elke verzameling ${\displaystyle A}$ geldt: de vereniging van ${\displaystyle A}$ met de lege verzameling is ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$

• Voor elke verzameling ${\displaystyle A}$ geldt: de doorsnede van ${\displaystyle A}$ met de lege verzameling is de lege verzameling:

${\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }$

• Het cartesisch product van ${\displaystyle A}$ en de lege verzameling is leeg:

${\displaystyle \forall A:\varnothing \times A=\varnothing }$

• De enige deelverzameling van de lege verzameling is de lege verzameling:

${\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }$

• De machtsverzameling van de lege verzameling is een verzameling die alleen de lege verzameling bevat:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )={\{\varnothing \}}}$

• De kardinaliteit van de lege verzameling is nul; de lege verzameling is ook eindig:

${\displaystyle |\varnothing |=0}$

De lege verzameling is niet hetzelfde als niets; het is een verzameling waar niets in zit, en een verzameling is iets. Het begrip lege verzameling precies toepassen kan je helpen bij het begrijpen van de verschillende betekenissen van "niets" als een woord in de natuurlijke taal.

Bijvoorbeeld, beschouw deze klassieke mop:

• Niets is beter dan eeuwige gelukzaligheid
• Maar een broodje ham is beter dan niets.
• Daarom is een broodje ham beter dan eeuwige gelukzaligheid.

Iedereen ziet dat de logica in deze mop onzinnig is, maar het is wellicht niet duidelijk hoe dit overeenkomt met de twee betekenissen van "niets".

De eerste stelling beweert:

De verzameling van dingen die beter zijn dan eeuwige gelukzaligheid is {}.

De tweede stelling beweert:

De verzameling {broodje ham} is beter dan de verzameling {}.

Nu is wel te zien dat de twee zinnen ongerelateerd zijn: de eerste gaat over individuele dingen, maar de tweede vergelijkt hele verzamelingen van dingen, waarbij {} ("De verzameling van niets) heel verschillende rollen speelt.

Ironisch genoeg kan de lege verzameling goed gebruikt worden om het intuïtieve concept "niets" te analyseren, maar zorgt diezelfde lege verzameling voor een hoop verwarring bij de meeste mensen als ze haar voor het eerst zien. We kunnen bijvoorbeeld wel spreken over een "verzameling met nul elementen", maar we zijn niet heel erg geneigd om over een "stapel van nul stenen" te spreken.