Preorde

Een zwakke orde of totale preorde is een homogene tweeplaatsige relatie die transitief en totaal is. Merk op dat totaliteit reflexiviteit impliceert en iedere totale preorde dus een specifiek geval van een preorde is.

Een partiële orde is een antisymmetrische preorde en een equivalentierelatie is een symmetrische preorde. Een totale orde is een antisymmetrische totale preorde.

Voor iedere preorde ${\displaystyle \lesssim }$ op ${\displaystyle X}$ kan de equivalentierelatie ${\displaystyle \sim }$ op ${\displaystyle X}$ gedefinieerd worden waarvoor geldt dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$:

${\displaystyle x\sim y}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle x\lesssim y}$ en ${\displaystyle y\lesssim x}$.

Als vervolgens een relatie ${\displaystyle \leq }$ op de equivalentieklassen ${\displaystyle X/\sim }$ gedefinieerd wordt door:

${\displaystyle [x]\leq [y]}$ als ${\displaystyle x\lesssim y}$,

dan is ${\displaystyle \leq }$ een partiële orde op ${\displaystyle X/\sim }$.

Hieruit kan vervolgens een strikte partiële orde ${\displaystyle <}$ op ${\displaystyle X}$ afgeleid worden, zodanig dat voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt:

${\displaystyle x<y}$ als ${\displaystyle [x]\leq [y]}$ en ${\displaystyle [x]\neq [y]}$,

of equivalent hiermee:

${\displaystyle x<y}$ als ${\displaystyle x\lesssim y}$ en ${\displaystyle x\not \sim y}$.

Met deze definities geldt voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$:

${\displaystyle x\lesssim y}$ an en slechts dan als ${\displaystyle x<y}$ of ${\displaystyle x\sim y}$.

Dit verklaart de notatie ${\displaystyle \lesssim }$ en geeft inzicht in de wijze waarop preordes zich verhouden tot (strikte) partiële ordes. Totale preordes verhouden zich tot (strikte) totale ordes zoals preordes zich tot (strikte) partiële ordes verhouden.

De term “strikte preorde” is niet gedefinieerd. Dit zou immers zoiets als een irreflexieve en transitieve homogene tweeplaatsige relatie moeten zijn, maar irreflexiviteit en transitiviteit impliceren samen asymmetrie, wat een strikte partiële orde op zou leveren. Hetzelfde geldt voor de term “strikte totale preorde”. Irreflexiviteit en transitiviteit van een relatie ${\displaystyle R}$ impliceren samen met de voorwaarde

voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: als ${\displaystyle x\neq y}$ dan ${\displaystyle xRy}$ of ${\displaystyle yRx}$ (vgl. totaliteit)

namelijk een trichotomie, wat een strikte totale orde op zou leveren.

Het is uiteraard wel mogelijk om (de inverse van) het complement van een preorde te nemen. Bij een totale preorde levert dit een strikte zwakke orde op.

• Preferentierelatie