Gelijkheid (wiskunde)

De gelijkheidsrelatie is altijd zodanig gedefinieerd dat de dingen die gelijk aan elkaar zijn allen dezelfde en enige eigenschappen hebben. Sommige mensen definiëren gelijkheid als congruentie. Vaak is gelijkheid slechts gedefinieerd als identiteit.

Een sterker gevoel voor wat gelijkheid is verkrijgt men als enige vorm van de wet van Leibniz als een axioma toegevoegd, de aanname van dit axioma sluit "kale bijzonderheden", die allen en alleen dezelfde eigenschappen eigen, maar die niet gelijk aan elkaar zijn, wat in sommige logische formalismen mogelijk is. Het axioma stelt dat twee zaken gelijk aan elkaar zijn als zij allen dezelfde en alleen dezelfde eigenschappen hebben. Formeel:

Gegeven enige x en y, geldt dat x = y dan en slechts dan als, gegeven enig predicaat P, P(x) is P(y).

In deze wet kan het verbindende "dan en slechts dan als" worden verzwakt tot "als"; de gewijzigde wet is equivalent aan de originele wet.

In plaats van de wet van Leibniz als een axioma te beschouwen, kan deze wet ook worden opgevat als de definitie van gelijkheid. De eigenschap van het zijn van een equivalentierelatie, evenals de hieronder gegeven eigenschappen kunnen in dat geval worden bewezen: zij worden stellingen.

De vervangingseigenschap stelt:

• Voor enige grootheden a en b en voor enige uitdrukking F(x), geldt dat als a = b, dat dan F(a) = F(b) (indien een van beide zijden "zinvol" is, dat wil zeggen welgevormd is).

In de eerste-orde logica is dit een schema, aangezien we niet over uitdrukkingen als F (wat een functionele predicaat zou zijn) kunnen kwantificeren.

Enige specifieke voorbeelden hiervan zijn:

• Voor enige reële getallen a, b en c geldt dat als a = b, dan a + c = b + c (hier geldt F(x) is x + c);
• Voor enige reële getallen a, b en c geldt dat als a = b, dan a − c = b − c (hier geldt F(x) is x − c);
• Voor enige reële getallen a, b en c geldt dat als a = b, dan ac = bc (hier geldt F(x) is xc);
• Voor enige reële getallen a, b en c geldt dat als a = b en c niet gelijk is aan nul, dat dan geldt dat a/c = b/c (hier is F(x) gelijk aan x/c).

De reflexieve eigenschap luidt als volgt:

Voor enige hoeveelheid a geldt dat a = a.

Deze eigenschap wordt algemeen in wiskundig bewijzen als een tussenstap gebruikt.

Det symmetrische eigenschap stelt:

• Voor enige hoeveelheden a en b, als a = b, dan geldt ook dat b =a.

De transitieve eigenschap stelt:

• Voor enige hoeveelheden a, b en c, als a = b en b = c, dan geldt ook dat a = c.

De binaire relatie "is bij benadering gelijk aan" tussen reële getallen of andere zaken, is zelfs, indien deze relatie nauwkeuriger wordt gedefinieerd, niet transitief. Op het eerste gezicht mag dit misschien wel zo lijken, maar veel kleine verschillen kunnen optellen tot iets groots. Gelijkheid bijna overal is daarentegen wel transitief.

Hoewel de symmetrische- en transitieve eigenschappen vaak als fundamenteel worden gezien, kunnen deze twee eigenschappen worden bewezen, indien de substitutie- en reflexieve eigenschappen in plaats van deze twee eigenschappen als uitgangspunt worden genomen.

In sommige contexten wordt gelijkheid scherp onderscheiden van equivalentie of isomorfisme. Men kan bijvoorbeeld een onderscheid maken tussen fracties en rationale getallen, waar de laatsten equivalentieklassen van fracties zijn: de fracties

${\displaystyle 1/2}$ en ${\displaystyle 2/4}$

verschillen als fracties, als verschillende strings van symbolen, van elkaar, maar zij "vertegenwoordigen" hetzelfde rationale getal, hetzelfde punt op de getallenlijn. Dit onderscheid leidt tot de notie van een quotiëntverzameling.

Op gelijkwaardige wijze zijn de verzamelingen

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}\,}$ and ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

geen gelijke verzamelingen – de eerste verzameling wordt gevormd door letters, terwijl de tweede verzameling uit getallen bestaat - beide bestaan zij echter uit verzamelingen van drie elementen; zij zijn dus isomorf, hetgeen betekent dat er een bijectie tussen de twee verzamelingen bestaat, bijvoorbeeld

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3}$.

Er zijn echter andere keuzes van isomorfismen mogelijk, zoals

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1}$,

en deze verzamelingen kunnen worden geïdentificeerd zonder zulk een keuze te maken - elke bewering die hen identificeert is "afhankelijk van de keuze van identificatie". Dit onderscheid tussen gelijkheid en isomorfisme is van fundamenteel belang in de categorietheorie en is zelfs een motivatie geweest voor de ontwikkeling van de categorietheorie.

• Gelijkteken
• ongelijkheid (wiskunde)
• Logisch gelijkheid
• Extensionaliteit