Transitiviteit (wiskunde)
In de wiskunde is een binaire relatie R over een verzameling X transitief, als steeds wanneer een element a gerelateerd is aan een element b en element b op zijn beurt weer gerelateerd is aan een element c, dat dan ook element a gerelateerd is aan element c.
Transitiviteit is een belangrijke eigenschap van veel soorten relaties, bijvoorbeeld partiële ordeningen, equivalentierelaties en gerichte verzamelingen.
De transitieve afsluiting (in Vlaanderen transitieve sluiting genoemd) van een binaire relatie is de kleinste transitieve relatie die de oorspronkelijke relatie geheel omvat.
Voorbeelden
De relaties "is groter dan", "is minstens zo groot als" en "is gelijk aan" (gelijkheid) zijn transitieve relaties:
- wanneer A > B en B > C, dan geldt ook A > C
- wanneer A ≥ B en B ≥ C, dan geldt ook dat A ≥ C
- wanneer A = B en B = C, dan geldt ook dat A = C
Enige tijd hebben economen en filosofen geloofd dat preferentie een transitieve relatie was; er zijn nu echter wiskundige theorieën die aantonen dat preferenties en andere belangrijke economische resultaten kunnen worden gemodelleerd, zonder toevlucht te nemen tot deze veronderstelling.
Aan de andere kant is "is de moeder van" geen transitieve relatie, want als Alice de moeder is van Brenda, en Brenda is de moeder van Claire, dan is Alice natuurlijk niet de moeder van Claire. Deze relatie noemt men antitransitief: Alice kan nooit de moeder van Claire zijn.
Hierop aansluitend bestudeert men in de biologie vaak het moederschap over een willekeurig aantal generaties: de relatie "is een matrilineaire voorouder van". Deze relatie is een transitieve relatie. Preciezer gezegd is het de transitieve afsluiting van de relatie "is de moeder van".
Meer voorbeelden van transitieve relaties:
- "Is een deelverzameling van"
- "Verdeelt" (deelbaarheid)
- "Impliceert" (implicatie)