Relatie (wiskunde)

Als ${\displaystyle R=(G,X_{1},\ldots ,X_{n})}$ een relatie is, wordt ${\displaystyle G}$ de grafiek van ${\displaystyle R}$ genoemd en worden de verzamelingen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ de domeinen van ${\displaystyle R}$ genoemd. Men zegt ook dat ${\displaystyle R}$ een relatie is over de verzamelingen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

Van het element ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in G}$ worden ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ argumenten van ${\displaystyle R}$ genoemd. Men zegt ook dat ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ met elkaar in ${\displaystyle R}$-relatie staan. Als uit de context duidelijk is om welke relatie het gaat, wordt ook simpelweg gezegd dat ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ met elkaar in relatie staan.

Het getal ${\displaystyle n}$ wordt de plaatsigheid van ${\displaystyle R}$ genoemd. Men spreekt hierbij van een ${\displaystyle n}$-plaatsige relatie.

Als alle domeinen dezelfde verzameling ${\displaystyle A}$ zijn, spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie. In dit geval zegt met ook dat ${\displaystyle R}$ een ${\displaystyle n}$-plaatsige relatie over ${\displaystyle A}$, of een ${\displaystyle n}$-plaatsige op ${\displaystyle A}$ is.

Voor alle verzamelingen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ wordt de relatie ${\displaystyle (G,X_{1},\ldots ,X_{n})}$, waarin ${\displaystyle G}$ de lege verzameling is de lege relatie over ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ genoemd.

Voor alle verzamelingen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ wordt de relatie ${\displaystyle (G,X_{1},\ldots ,X_{n})}$, waarin ${\displaystyle G=X_{1}\times \ldots \times X_{n}}$ de universele relatie over ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ genoemd.

De uitspraak "${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ staan met elkaar in ${\displaystyle R}$-relatie", d.w.z. ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in G}$, wordt op verschillende manieren genoteerd:

• (functienotatie) ${\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n})}$
• (Poolse notatie) ${\displaystyle Rx_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$

Bij een vierplaatsige relatie ${\displaystyle R}$ kan men bijvoorbeeld ${\displaystyle R(t,u,v,w)}$ of ${\displaystyle Rtuvw}$ schrijven. Bij een eenplaatsige relatie ${\displaystyle S}$ wordt dat ${\displaystyle S(t)}$ of ${\displaystyle St}$. Bij tweeplaatsige relaties wordt ook vaak de infixnotatie gebruikt: bijvoorbeeld ${\displaystyle uTv}$ voor een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle T.}$

De functienotatie komt overeen met de indicatorfunctie van de grafiek ${\displaystyle G}$ van ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n})\Longleftrightarrow (x_{1},\ldots ,x_{n})\in G\Longleftrightarrow {\rm {I}}_{G}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$

In de logica nemen relaties een belangrijke plaats in. De predicaten uit de predicatenlogica komen precies overeen met relaties. Net als eenplaatsige predicaten, kunnen eenplaatsige relaties dan ook gezien worden als model van een eigenschap. In de modale logica spelen tweeplaatsige relaties een belangrijke rol. Terwijl modale logica's vaak computationeel voordeliger zijn dan predicatenlogica, kunnen ze redeneren over tweeplaatsige relaties met veel van de belangrijkste eigenschappen, zoals transitiviteit en reflexiviteit.

De afbeelding is gedefinieerd als een specifiek soort relatie. Het homomorfisme, een van de centrale begrippen in de algebra, is een specifiek geval van een afbeelding en daarmee specifiek geval van een relatie. Bij gevolg geldt hetzelfde voor de overige morfismen. Een ander in de algebra belangrijk begrip, de operatie, komt overeen met het algemenere begrip afbeelding en is dus ook een specifiek soort relatie.[1]

In de meetkunde wordt onder andere het begrip congruentie gedefinieerd als een specifieke tweeplaatsige relatie.

In de analyse wordt het centrale begrip functie gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie.

De preferentierelatie ${\displaystyle \lesssim }$ van een consument is gedefinieerd als volgt: voor twee "consumptiepakketten" A en B betekent A ${\displaystyle \lesssim }$ B dat de consument B minstens zo graag heeft als A. Deze is reflexief en logischerwijs ook transitief. Het is dus een preorde, en in theorie voor een besluitvaardige en goed geïnformeerde consument ook een totale pre-orde. Op de verzameling equivalentieklassen van voor deze consument gelijkwaardige consumptiepakketten is er een bijbehorende partiële orde, respectievelijk totale orde.