Transitieve afsluiting

De transitieve afsluiting (Nederland) of transitieve sluiting (Vlaanderen) ${\displaystyle R^{+}}$ van een binaire relatie ${\displaystyle R}$ op een verzameling ${\displaystyle M}$ is de kleinste transitieve relatie op ${\displaystyle M}$ die de oorspronkelijke relatie omvat.

Dit wil zeggen dat voor twee elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ uit ${\displaystyle M}$ geldt dat ${\displaystyle x\ R^{+}\ y}$ slechts bestaat als er een rij elementen ${\displaystyle x_{0}\,x_{1}\,\dots x_{n}}$ bestaat waarbij: ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle x_{n}=y}$ en ${\displaystyle x_{i}\ R\ x_{i+1}}$ voor ${\displaystyle 0\leq i<n}$.

Elke binaire relatie heeft een transitieve sluiting.

Als men de relaties voorstelt als een gerichte graaf, bevat de graaf van de transitieve sluiting ${\displaystyle R^{+}}$ een boog van knoop x naar knoop y als de graaf van ${\displaystyle R}$ een gericht pad met één of meer bogen bevat van x naar y. De transitieve sluiting van een gerichte, acyclische graaf is de "bereikbaarheidsgraaf" die aangeeft welke knopen bereikbaar zijn vanuit andere knopen. Het is een strikte partiële orde op de verzameling knopen.