Afbeeldingstelling van Riemann

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de afbeeldingstelling van Riemann dat bij elke enkelvoudig samenhangende open echte deelverzameling ${\displaystyle U}$ van het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ een biholomorfe (bijectieve en holomorfe) afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle U}$ op de open eenheidsschijf ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ bestaat.

Intuïtief betekent de voorwaarde dat ${\displaystyle U}$ enkelvoudig samenhangend is dat ${\displaystyle U}$ geen "gaten" bevat. Het feit dat ${\displaystyle f}$ biholomorf is impliceert dat het een hoekgetrouwe afbeelding is en daarom hoekbewarend. Intuïtief bewaart zo'n afbeelding de vorm van elk voldoende klein figuur onder rotatie en schalen (maar niet spiegelen).

Henri Poincaré bewees dat de afbeelding ${\displaystyle f}$ in essentie uniek is: als ${\displaystyle z_{0}}$ een element van ${\displaystyle U}$ is en ${\displaystyle \varphi }$ een willekeurige hoek is, dan bestaat er precies een ${\displaystyle f}$, zoals hierboven, met de extra eigenschappen dat ${\displaystyle f}$ het punt ${\displaystyle z_{0}}$ afbeelft op ${\displaystyle 0}$ en dat het argument van de afgeleide van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle z_{0}}$ gelijk is aan ${\displaystyle \varphi .}$ Dit is een eenvoudige consequentie van het lemma van Schwarz.

Als een corollarium van de stelling kunnen elke twee enkelvoudig verbonden open deelverzamelingen van de riemann-sfeer (die elk ten minste twee punten van de sfeer missen) hoekgetrouw op elkaar worden afgebeeld (omdat hoekgetrouwe gelijkwaardigheid een equivalentierelatie is).