Elliptische kromme

Een elliptische kromme is een verzameling punten van het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan een vergelijking van de vorm

${\displaystyle y^{2}=f(x)}$

waarin ${\displaystyle f}$ een polynoom is van de derde graad zonder samenvallende nulpunten (dat wil zeggen dat ${\displaystyle f}$ geen nulpunten gemeenschappelijk heeft met zijn afgeleide).

Als we onder het "vlak" de reële Euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ verstaan, dan kan de elliptische kromme grafisch worden voorgesteld in een van de volgende twee gedaanten (naargelang de polynoom ${\displaystyle f}$ drie reële nulpunten resp. slechts één reëel nulpunt heeft):

Meestal worden elliptische krommen echter beschouwd over de complexe tweedimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, of zelfs over het complexe projectieve vlak ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} }$. In dat laatste geval wordt de vergelijking gehomogeniseerd met een derde veranderlijke ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle y^{2}z=ax^{3}+bx^{2}z+cxz^{2}+dz^{3}}$

Over het complexe projectieve vlak zijn alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig (homeomorf) met de torus, en dus ook met elkaar.

Een elliptische kromme is het Riemann-oppervlak dat ontstaat als quotiëntruimte van het complexe vlak over een rooster, d.i. een discrete deelgroep van de vorm

${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} b,\ a,b\in \mathbb {C} ,\ a,b\neq 0,\ a/b\notin \mathbb {R} }$

Hoewel alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig zijn, zijn ze niet allemaal gelijkwaardig als Riemann-oppervlak. Elke elliptische kromme is echter biholomorf (equivalent als Riemann-oppervlak) met een elliptische kromme waarvoor ${\displaystyle a=1}$ en waarvoor het imaginaire deel van ${\displaystyle b}$ strikt positief is.

Het verband met de elementaire definitie wordt gegeven door de ${\displaystyle \wp }$-functie van Weierstrass en haar afgeleide. Dat is een dubbelperiodieke meromorfe functie op het complexe vlak met polen van de tweede orde in de punten van het rooster ${\displaystyle \Gamma }$. Ze voldoet aan

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=\wp (z)^{3}+60G_{4}(\Gamma )\wp (z)+140G_{6}(z)}$

Hierin zijn de constanten ${\displaystyle g_{2k}(\Gamma )}$ de sommen van de Eisenstein-reeksen van het rooster.

Het geordende paar ${\displaystyle (\wp ,\wp ')}$ parametriseert een complexe elliptische kromme in de elementaire zin. Omgekeerd blijkt elke complexe elliptische kromme afkomstig te zijn van de Weierstrass-functie van een rooster.

Op een elliptische kromme bestaat een natuurlijke abelse groepsbewerking. Bij de alternatieve definitie is dit gewoon de factorgroep die ontstaat uit de optelling van complexe getallen. Bij de elementaire definitie aan de hand van een polynoom heeft de groepsbewerking de volgende meetkundige vorm.

Een elliptische kromme in het complexe projectieve vlak snijdt de rechte op oneindig in één punt met als projectieve coördinaten

${\displaystyle (x,y,z)=(0,1,0)}$

Zijn ${\displaystyle P}$ een ${\displaystyle Q}$ twee verschillende punten op de elliptische kromme (in het complexe projectieve vlak). De verbindingslijn van ${\displaystyle P}$ een ${\displaystyle Q}$ snijdt de kromme in precies één derde punt ${\displaystyle R}$ (als ${\displaystyle P}$ een ${\displaystyle Q}$ elkaars spiegeling ten opzichte van de x-as zijn, dan ligt dit punt op oneindig). De som ${\displaystyle P+Q}$ is gedefinieerd als de spiegeling van dit derde punt ${\displaystyle R}$ ten opzichte van de x-as.

Als ${\displaystyle P}$ een ${\displaystyle Q}$ samenvallen, nemen we de raaklijn in plaats van de verbindingslijn.

Als ${\displaystyle P}$ een punt op oneindig is (dus een punt waarvan de projectieve coördinaat ${\displaystyle z}$ de waarde 0 aanneemt, dit komt overeen met een richting in het vlak), dan nemen we de rechte door ${\displaystyle Q}$ in de richting van ${\displaystyle P}$.

De enige groepseigenschap waarvan de verificatie niet voor de hand ligt, is de associativiteit. Het neutrale element van de groepsbewerking is het punt op oneindig.

Een rationale elliptische kromme bestaat uit punten waarvan de projectieve coördinaten rationale getallen zijn, en aan een vergelijking zoals hierboven voldoen. De coëfficiënten van de derdegraadspolynoom moeten eveneens rationale getallen zijn. De stelling van Mordell luidt dat een rationale elliptische kromme, opgevat als abelse groep, eindig voortgebracht is. Er bestaat dus een eindige deelverzameling van waaruit ieder willekeurig punt op de kromme door een eindig aantal sommen kan worden bereikt.

Elliptische krommen spelen een rol bij de studie van elliptische functies die ontstaan uit de integralen waarmee de omtrek van delen van een ellips kan worden berekend.

Elliptische krommen zijn bestudeerd als interessante objecten op zich, omdat ze de eerste stap van de meetkunde "voorbij" de kegelsneden zijn. Ze hebben echter toepassingen gevonden in andere gebieden van de wiskunde, en met name de getaltheorie heeft in 1995 een spectaculair succes geboekt door aan de hand van elliptische krommen de laatste stelling van Fermat te bewijzen.

• James Milne, Elliptic Curves. Booksurge Publishing (2006). ISBN 1-4196-5257-5.

• Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer Graduate Texts in Mathematics vol.106 (1985). ISBN 0-387-96203-4.