Elliptische functie

Een elliptische functie ${\displaystyle f}$ is een meromorfe functie op het complexe vlak waarvoor een paar complexe getallen ${\displaystyle \omega _{1}}$ en ${\displaystyle \omega _{2}}$ bestaan die niet een reëel veelvoud van elkaar zijn (${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}\notin \mathbb {R} }$), zodat voor alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ geldt:

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$ en ${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)}$

Bijgevolg is ook voor elk getal ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ en alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle f(z+m\,\omega _{1}+n\,\omega _{2})=f(z)}$

De enige elliptische functies die ook holomorf zijn, zijn noodzakelijkerwijze constant. Dit volgt onmiddellijk uit de stelling van Liouville. De enige interessante elliptische functies zijn dus diegene met polen.

De Weierstraß ${\displaystyle \wp }$-functie van een gegeven rooster ${\displaystyle L}$ is een van de bekendste elliptische functies. Samen met haar afgeleide, ${\displaystyle \wp ',}$ brengt ze het lichaam/veld van de elliptische functies op ${\displaystyle L}$ voort.

• Abramowitz, Milton en Stegun, Irene A., eds. (1965 en later). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. (Hoofdstuk 16 en 18)