Projectief vlak

In de wiskunde is een projectief vlak een meetkundige structuur die het begrip vlak uitbreidt. In het gewone euclidische vlak snijden twee lijnen elkaar gewoonlijk in één bepaald punt, maar zijn er ook paren van lijnen (namelijk parallelle lijnen) die elkaar niet snijden. Een projectief vlak kan worden beschouwd als een gewoon vlak dat is uitgerust met extra "punten op oneindig", waar parallelle lijnen elkaar snijden. Ieder tweetal lijnen in een projectief vlak snijden elkaar dus in precies één punt.

Parallelle lijnen snijden elkaar in het verdwijnpunt op oneindig.

De basis voor dit wiskundige onderwerp werd in de Renaissance gelegd door kunstenaars die zich bezighielden met de ontwikkeling van technieken om in perspectief te kunnen tekenen.

Het typische voorbeeld is het reële projectieve vlak, dat ook wel bekendstaat als het uitgebreide euclidische vlak. Het reële projectieve vlak is, steeds in iets andere gedaante, belangrijk in de algebraïsche meetkunde, de topologie en de projectieve meetkunde. In deze deelgebieden van de wiskunde wordt een projectief vlak aangeduid met $\mathrm {PG} (2,\mathbb {R} ),\mathrm {RP} ^{2}$ of $\mathrm {P} _{2}(\mathbb {R} ).$ Er bestaan vele andere projectieve vlakken, zowel oneindige, zoals het complexe projectieve vlak als eindige, zoals het Fano-vlak.

Een projectief vlak is een tweedimensionale projectieve ruimte, maar niet alle projectieve vlakken kunnen worden ingebed in driedimensionale projectieve ruimten. De inbeddingseigenschap is een gevolg van een resultaat dat bekendstaat als de stelling van Desargues.

Definitie

Een projectief vlak bestaat uit een verzameling lijnen, een verzameling punten en een relatie tussen deze punten en lijnen die incidentie wordt genoemd, met de volgende eigenschappen:[1]

Gegeven enig paar van twee verschillende punten bestaat er precies één lijn die incident is met beide punten.
Gegeven enig paar van twee verschillende lijnen bestaat er precies één punt dat incident is met beide lijnen.
Er zijn vier punten zodanig dat geen enkele lijn incident is met meer dan twee van deze punten.

De tweede voorwaarde houdt in dat er geen parallelle lijnen zijn. De laatste voorwaarde sluit exclusief de zogenaamde 'ontaarde' gevallen uit. De term "incidentie" wordt gebruikt om de symmetrische aard van de relatie tussen punten en lijnen te benadrukken. Men gebruikt de uitdrukking "punt $P$ is incident met lijn $l$ " in plaats van ofwel " $P$ ligt op $l$ " ofwel " $l$ passeert door $P\,$ ".

Verschillend per deelgebied

De definitie van projectief vlak kent meerdere definities die per deelgebied van de wiskunde verschillen. In de lineaire algebra definieert men een projectief vlak bijvoorbeeld zodanig dat het gemakkelijk vlakken produceert, die tevens homogene ruimten voor enkele van de klassieke groepen zijn, dit met inbegrip van het reëel projectieve vlak $\mathbb {P} ^{2}$ .

In de axiomatische- en eindige meetkunde gebruikt men een projectief vlak voor een uitputtende studie van de enkelvoudige incidentie-eigenschappen van de euclidische meetkunde.

Zie ook

Voetnoten

In een meer formele versie van de definitie wordt erop gewezen dat de termen punt, lijn en incidentie primitieve begrippen (ongedefinieerde termen) zijn. Dit formele standpunt is nodig om het concept van dualiteit te begrijpen, wanneer dit op projectieve vlakken wordt toegepas.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] In een meer formele versie van de definitie wordt erop gewezen dat de termen punt, lijn en incidentie primitieve begrippen (ongedefinieerde termen) zijn. Dit formele standpunt is nodig om het concept van dualiteit te begrijpen, wanneer dit op projectieve vlakken wordt toegepas.