Alexander Grothendieck

Hanka Grothendieck, zijn moeder (1917)

Alexander Grothendieck werd in 1928 in Berlijn in een anarchistisch milieu geboren. Zijn Duitse moeder, de schrijfster en journaliste Johanna (Hanka) Grothendieck, stamde uit een uit een voorname Hamburgse, protestantse familie. Zijn Russisch-Joodse vader, Alexander (Sascha) Schapiro was uit zijn vaderland gevlucht. Hij had Chassidische wortels en had in Rusland gevangengezeten voordat hij in 1922 naar Duitsland kwam. In Berlijn kwam hij onder de schuilnaam Alexander Tanarow als fotograaf aan de kost. Zijn ouders waren niet met elkaar getrouwd, want zijn moeder was nog niet van haar vorige echtgenoot gescheiden. Beide ouders hadden in hun tienerjaren met hun ouderlijk milieu gebroken.[9] Op het moment van zijn geboorte was Alexander Grothendiecks moeder getrouwd met de Duitse journalist Johannes Raddatz. Zijn geboortenaam werd aanvankelijk opgetekend als "Alexander Raddatz". Toen dit huwelijk in 1929 werd ontbonden kreeg hij de familienaam van zijn moeder; voortaan heette hij Alexander Grothendieck. Alexander Schapiro/Tanaroff erkende zijn vaderschap, maar trouwde nooit met zijn moeder Hanka.[9]

Omdat zijn vader joods was en zowel zijn vader als moeder anarchisten waren, vluchtten zij na de machtsovername door de nazi's in 1933 naar Parijs. Grothendieck leefde tot het einde van 1933 met zijn ouders in Berlijn. Na de machtsovername door de nazi's achtte zijn vader het verstandig naar Parijs te vertrekken. Zijn moeder volgde hem kort daarna. Zij vertrouwde haar zoon in Hamburg aan de zorg toe van Wilhelm Heydorn, een Lutherse pastor en onderwijzer[10] Tijdens de Spaanse Burgeroorlog verbleven beide ouders in Spanje, waar zij zich als vrijwilligers achter het front inzetten voor de zaak van de Spaanse republikeinen. Toen zijn pleegouders het in 1939 te gevaarlijk vonden worden om nog langer voor een Joods uitziend jongetje van een jaar of tien te zorgen, werd Alexander in Nîmes met zijn ouders verenigd.

Vanaf 1939 verbleef Grothendieck samen met zijn moeder in verschillende kampen voor ontheemde personen, eerst in het Camp de Rieucros. Daarna verbleef hij de rest van de oorlog in het dorp Le Chambon-sur-Lignon, waar hij verborgen zat in lokale pensions. Zijn Joodse vader werd vanuit Drancy naar Auschwitz gestuurd, waar hij in 1942 werd vergast. Terwijl Grothendieck in Chambon woonde, bezocht hij het Collège Cévenol (dat nu bekendstaat als het Le Collège-Lycee International Cévenol), een unieke middelbare school, die in 1938 door lokale protestantse pacifisten en anti-oorlogsactivisten was opgericht. Veel van de gevluchte kinderen die in Chambon zaten ondergedoken, bezochten Cévenol en het was op deze school dat Grothendieck voor het eerst gefascineerd raakte door de wiskunde.

Grothendieck begon na de oorlog aan een studie wiskunde in Montpellier, met het doel om leraar te worden, want hij had begrepen dat het wiskundig onderzoek 'af' was. Zijn talent werd echter ontdekt door zijn docenten, en vanaf 1948 studeerde hij in Parijs.

Hoofdgebouw van het IHÉS.

Vanaf 1958 was hij aan het Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHÉS) verbonden. Grothendieck trok daar de aandacht door het organiseren van intense en zeer productieve seminars, waarin hij de grondslagen van de wiskunde onderzocht. Hij wist enige van de meeste getalenteerde Franse wiskundigen van de jongere generatie over te halen hieraan mee te doen.[10] Grothendieck stopte in deze periode met het publiceren van artikelen in conventionele, wetenschappelijk tijdschriften. Desondanks was hij in staat om ongeveer een decennium lang een dominante rol in de wiskunde te spelen, met name geholpen door de sterke school die hij om zich heen verzamelde.[11]

Vanwege zijn ervaringen tijdens de oorlog is Grothendieck altijd een fel pacifist geweest. Zo gaf hij, als protest tegen de Vietnamoorlog, lezingen in de bossen bij Hanoi toen deze stad werd gebombardeerd. In 1970 trok hij zich terug uit de academische wereld, nadat hij had ontdekt dat het IHES deels met militair geld werd betaald. Hij keerde echter een paar jaar later terug als hoogleraar in Montpellier, totdat hij in 1988 met vervroegd pensioen ging. Hij had toen veel kritiek op de wetenschappelijke wereld, wat onder meer leidde tot de weigering van de aan hem en Pierre Deligne in dat jaar voor hun "fundamentele bijdrage aan de analytische meetkunde"[12] toegekende Crafoord-prijs.[13] In 1991 verliet hij zijn huis en was lange tijd spoorloos. Hij leefde tot aan zijn dood in 2014 in de Pyreneeën.

In januari 2010 schreef Grothendieck een brief aan de Franse wiskundige Luc Illusie. In deze Déclaration d'intention de non-publication, merkt hij op dat in essentie alle materiaal dat in de laatste twintig jaar in zijn afwezigheid is gepubliceerd, zonder zijn toestemming is verschenen. Hij vraagt dat geen van dit werk in zijn geheel of gedeeltelijk wordt gereproduceerd en dat bibliotheken die dit werk in bezit hebben, dit uit hun collecties verwijderen[14]

Alexander Grothendieck overleed eind 2014 op 86-jarige leeftijd in het ziekenhuis van Saint-Girons bij Saint-Lizier.[15][16]

Het grootste deel van Grothendiecks gepubliceerde werken wordt verzameld in de monumentale, nog onvolledige, Éléments de géométrie algébrique (EGA) en Séminarie de géométrie algébrique (SGA). De collectie Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), die lezingen bundelt die Grothendieck gaf in het Séminaire Bourbaki, bevat ook belangrijk materiaal.[10]

Grothendiecks werk omvat de constructie van de étale en l-adische cohomologie-theorieën. Deze theorieën verklaren een waarneming van André Weil, dat er een verband bestaat tussen de topologische kenmerken van een variëteit en haar diophantische (getaltheoretische) eigenschappen.[19] Het aantal oplossingen van een vergelijking over een eindig veld geeft bijvoorbeeld de topologische aard van haar oplossingen over de complexe getallen weer. Weil realiseerde zich dat om een dergelijke verband te bewijzen hij een cohomologietheorie nodig had, maar noch hij, noch enige andere wiskundige, zag hoe hier in te voorzien, totdat een dergelijke theorie door Grothendieck werd opgesteld.

Dit programma culmineerde in de bewijzen van de vermoedens van Weil, waarvan de laatste in de vroege jaren 1970 door Grothendiecks student Pierre Deligne werd bewezen, dit nadat Grothendieck zich zelf al grotendeels uit de wiskunde had teruggetrokken.[10]

Grothendieck schreef een beoordeling achteraf van zijn wiskundige werk (zie externe link La Vision hieronder). Als zijn belangrijkste wiskundige prestaties ("maître-thèmes"), koos hij deze collectie van 12 onderwerpen (in zijn chronologische volgorde):[19]

1. Topologische tensorproducten en nucleaire ruimten
2. "Continue" en "discrete" dualiteit (afgeleide categorieën en "zes operaties")
3. Yoga van de stelling van Grothendieck-Riemann-Roch (K-theorie, relatie met intersectietheorie)
4. Schema's
5. Topoi
6. Étale cohomologie waaronder l-adische cohomologie
7. Motieven en de motivische Galois-groep (en Grothendieck-categorieën)
8. Kristallen en kristallijne cohomologie, yoga van De Rham en Hodge-coëfficiënten
9. Topologische algebra, oneindigheids-stacks, 'dérivateurs', cohomologisch formalisme van topoi als een inspiratie voor een nieuwe homotopische algebra
10. Tamme topologie
11. Yoga van anabeliaanse meetkunde en Galois-Teichmüller-theorie
12. Schematisch oogpunt, of "rekenkunde" voor regelmatige veelvlakken en reguliere configuraties van alle soorten

Grothendieck benaderde de algebraïsche meetkunde door de grondslagen van dit onderzoeksgebied te verduidelijken en door het ontwikkelen van wiskundige hulpmiddelen, die bedoeld waren om een aantal bekende vermoedens in de algebraïsche meetkunde te bewijzen. Onder algebraïsche meetkunde verstond men van oudsher het komen tot begrip van meetkundige objecten, zoals algebraïsche krommen en oppervlakken, door het bestuderen van de algebraïsche vergelijkingen voor deze objecten. Eigenschappen van algebraïsche vergelijkingen worden op hun beurt bestudeerd door gebruik te maken van technieken uit de ringtheorie. In deze benadering worden de eigenschappen van een meetkundig object dus gerelateerd aan de eigenschappen van een bijbehorende ring. De (bijvoorbeeld reële, complexe of projectieve) ruimte, waarin het object is gedefinieerd staat los van dit object (is er extrinsiek aan), terwijl de ring intrinsiek is.

Grothendieck legde door de construeren van intrinsieke ruimten ("spectra") en de daar bijbehorende ringen als primaire objecten van studie een nieuwe basis voor de algebraïsche meetkunde. Daartoe ontwikkelde hij de theorie van schema’s. Schema's kunnen informeel worden gezien als topologische ruimten, waar aan elke open deelverzameling van deze ruimte een commutatieve ring wordt gekoppeld. Voor de beoefenaars van de moderne algebraïsche meetkunde zijn schema's de basisobjecten van studie geworden. Dit stond het de algebraïsche meetkunde toe om de in andere onderzoeksgebieden geboekte technische vooruitgang te absorberen.[29]

Zijn veralgemening van de klassieke stelling van Riemann-Roch relateerde topologische eigenschappen van complexe algebraïsche krommen aan hun algebraïsche structuur. De instrumenten die Grothendieck ontwikkelde om deze stelling te bewijzen lagen aan de basis van de studie van algebraïsche- en topologische K-theorie, die de topologische eigenschappen van objecten bestuderen door ze te associëren met ringen. Voor de topologische K-theorie werd het fundament gelegd door Michael Atiyah, dit na direct contact met Grothendiecks ideeën tijdens de Bonner Arbeitstagung.[30]

Grothendiecks constructie van nieuwe cohomologietheorieën, die algebraïsche technieken gebruiken om topologische objecten te bestuderen, heeft de ontwikkeling van de algebraïsche getaltheorie, de algebraïsche topologie en de representatietheorie beïnvloed. Als onderdeel van dit project, heeft zijn creatie van topostheorie, een categorie-theoretische veralgemening van de puntverzamelingtopologie, de verzamelingenleer en de wiskundige logica beïnvloed.[31]

De vermoedens van Weil werden in de late jaren 1940 geformuleerd als een verzameling van wiskundige problemen in de rekenkundige meetkunde. Ze beschrijven eigenschappen van analytische invarianten, die lokale zèta-functies worden genoemd, van het aantal punten op een algebraïsche kromme of variëteit van een hogere dimensie. De ontdekking van de Grothendiecks ℓ-adicetale cohomologie, het eerste voorbeeld van een Weil-cohomologietheorie opende de weg voor een bewijs van de vermoedens van Weil, het bewijs waarvan in de jaren 1970 uiteindelijk werd voltooid door Grothendiecks leerling Pierre Deligne. Grothendiecks grootschalige aanpak is weleens een "visionair programma" genoemd.[32] De ℓ-adische cohomologie werd daarna een fundamenteel gereedschap voor getaltheoretici, met toepassingen in het Langlands-programma.[33]

Grothendiecks vermoedende theorie van motieven was bedoeld om de "ℓ-adische" theorie te zijn, maar dan zonder de keuze van "ℓ", een priemgetal. Het voorzag echter niet in de beoogde route naar het bewijs van de vermoedens van Weil, maar heeft wel aan de basis gelegen van moderne ontwikkelingen in de algebraïsche K-theorie, de motivische homotopietheorie en motivische integratie.[34] Deze theorie, het werk van Daniel Quillen en Grothendiecks theorie van de Chern-klasse worden beschouwd als de achtergrond van de theorie van het algebraïsch cobordisme, een ander algebraïsch analogon van topologische ideeën.[35]

Grothendiecks nadruk op de rol van universele eigenschappen over een veelheid van wiskundige structuren bracht de categorietheorie als een ordenend principe voor de wiskunde in het algemeen in de hoofdstroom van de wiskunde. Onder haar toepassingen, creëert de categorietheorie een gemeenschappelijke taal voor het beschrijven van soortgelijke structuren en technieken, die in vele verschillende wiskundige systemen worden gezien.[36] Zijn notie van abelse categorieën is nu het basisobject van studie in de homologische algebra.[37] De opkomst van de categorietheorie als een afzonderlijke wiskundige discipline wordt wel, hoewel onbedoeld, aan Grothendiecks invloed toegeschreven.[38]