Oneindigheid

Er zijn verschillende graden van oneindigheid. De kleinst denkbare oneindigheid is de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze vorm van oneindigheid wordt aftelbare oneindigheid of discrete oneindigheid genoemd en aangeduid met het symbool ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef nul). Van verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de natuurlijke getallen, zegt men dat ze de kardinaliteit ("aantal elementen") ${\displaystyle \aleph _{0}}$ hebben, Voorbeelden zijn de gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ de even getallen en de oneven getallen. Maar ook de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en de algebraïsche getallen ${\displaystyle \mathbb {A} }$ zijn aftelbaar oneindig.

De term 'aftelbaar oneindig' is gekozen omdat van elke verzameling die gelijkmachtig is met de natuurlijke getallen de elementen via de een-op-eenrelatie afgeteld kunnen worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat en zo dus allemaal 'afgeteld' kunnen worden.

De rationale getallen kunnen bijvoorbeeld als volgt afgeteld worden:

${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {-1}{1}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {-2}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {-1}{2}},{\tfrac {3}{1}},{\tfrac {-3}{1}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {-1}{3}},{\tfrac {4}{1}},{\tfrac {-4}{1}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {-3}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {-2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {-1}{4}},{\tfrac {5}{1}},{\tfrac {-5}{1}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {-1}{5}},{\tfrac {6}{1}},{\tfrac {-6}{1}},{\tfrac {5}{2}},\cdots }$

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-eenafbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een niet-aftelbaar oneindige verzameling, Bij iedere poging tot aftellen zijn er altijd elementen die niet geteld worden. De verzameling bevat wezenlijk meer elementen dan de natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt overaftelbaar genoemd.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor, een 19e-eeuwse Duitse wiskundige die als een van de eersten het begrip oneindigheid grondig onderzocht, bewees dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.

Men breidt de reële getallen wel uit met de symbolen ${\displaystyle (+)\infty }$ en ${\displaystyle -\infty }$ met als resultaat de uitgebreide reële getallenlijn:

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$.

In het proces waarbij reële getallen door vervollediging van rationale getallen formeel worden geconstrueerd als equivalentieklassen van cauchyrijen, kan ${\displaystyle \infty }$ worden gedefinieerd als de verzameling rijen rationale getallen waarbij voor elke ${\displaystyle N}$ er een ${\displaystyle n}$ bestaat, zodanig dat voor alle ${\displaystyle k>n}$ geldt dat ${\displaystyle a_{k}>N}$. Ook kan worden uitgegaan van de reële getallen, en kunnen deze via een vergelijkbare constructie uitgebreid worden. Op analoge wijze kan ook ${\displaystyle -\infty }$ gedefinieerd worden.

De rekenkundige operaties op de reële getallen kunnen deels worden uitgebreid tot operaties op de uitgebreide reële getallenlijn.

De optelling in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is deels uitbreidbaar tot ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, maar daarmee is ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ niet zoals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ een groep:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq \infty \\\end{aligned}}}$

Verder:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$

Voorstelling van de punten van het reële projectieve vlak als vectorrechten in de driedimensionale ${\displaystyle (X,Y,Z)}$-coördinatenruimte. De rode vectorrechten zijn "gewone" of "eindige" punten in het vlak ${\displaystyle \alpha }$ met vergelijking ${\displaystyle z=1/2.}$ De blauwe vectorrechten snijden het vlak ${\displaystyle \alpha }$ niet en vormen de rechte op oneindig ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Zie Projectieve meetkunde voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De projectieve meetkunde maakt gebruik van modellen die bestaan uit "klassieke" affiene ruimten, uitgebreid met een stel punten op oneindig. We schetsen dit aan de hand van het reële projectieve vlak, maar dezelfde constructie geldt voor willekeurige dimensies en willekeurige lichamen. Definieer het projectieve vlak ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ als de verzameling vectorrechten (ééndimensionale deelruimten) van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ projectieve punten genaamd. Een projectieve rechte is een vectorvlak (tweedimensionale deelruimte) en we zeggen dat een projectief punt tot een projectieve rechte behoort wanneer de vectorrechte een deel is van het vectorvlak.

Door nu een vast vlak ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ te kiezen dat niet door de oorsprong gaat, bekomen we een één-op-één-verband tussen dat vlak en een deel van het projectieve vlak. Door ieder punt van ${\displaystyle \alpha }$ gaat namelijk precies één vectorrechte. Er zijn echter vectorrechten die ${\displaystyle \alpha }$ nergens snijden omdat ze ermee evenwijdig lopen: dit zijn de "punten op oneindig" die met deze keuze van ${\displaystyle \alpha }$ overeenkomen. Ze vormen samen één projectieve rechte, namelijk het unieke vectorvlak dat evenwijdig loopt met ${\displaystyle \alpha .}$

De uitgebreide reële getallenlijn ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ kan voorzien worden van de topologie van een gesloten interval, zo dat het normale limietbegrip voor een rij in die topologische ruimte kan worden toegepast voor convergentie naar ${\displaystyle \infty }$ en ${\displaystyle -\infty .}$ Dit is het geval bij de topologie die voor een gegeven begrensde strikt stijgende continue functie ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, uitgebreid tot een functie op ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ met ${\displaystyle f(\infty )}$ gesteld op ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ en ${\displaystyle f(-\infty )}$ op ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$, wordt geïnduceerd door de metriek waarbij de afstand van ${\displaystyle a}$ tot ${\displaystyle b}$ gelijk is aan ${\displaystyle |f(b)-f(a)|}$. Deze topologie is onafhankelijk van ${\displaystyle f}$. Met deze topologie is elk van deze functies ${\displaystyle f}$ continu op ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. Zoals de notatie al suggereert is in deze topologische ruimte de hele ruimte ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ de afsluiting van ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Een andere benadering stelt ${\displaystyle \infty }$ en ${\displaystyle -\infty }$ aan elkaar gelijk, zie reële projectieve lijn, met als topologie die van een cirkel. Convergentie in deze ruimte naar ∞ van een rij komt overeen met convergentie in de bovengenoemde ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ naar ∞ van de rij van absolute waarden. Ook in deze topologische ruimte is de hele ruimte de afsluiting van ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Afhankelijk van de context moet men hier echter voorzichtig zijn met de notatie ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, omdat die al voor de bovengenoemde ruimte wordt gebruikt. Ter onderscheiding wordt hier wel de notatie ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ gebruikt.

Nog even de homeomorfismen samengevat: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is homeomorf aan een open interval, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ is homeomorf aan een gesloten interval, en ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ is homeomorf aan een cirkel.

De totale orde van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kan op natuurlijke wijze uitgebreid worden tot ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, maar niet tot ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$.

De hierboven beschreven uitbreidingen van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zijn voorbeelden van compactificaties. Een compactificatie van een topologische ruimte is een topologische inbedding van die ruimte met de eigenschap dat het beeld van de inbedding dicht is in de doelruimte. Zo kan het voorbeeld van ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ hierboven worden gemodelleerd met de inbedding arctan van de reële getallen in het (compacte) interval ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2].}$ Het bereik van de boogtangensfunctie is het open interval ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ en dat is op zijn beurt een dichte deelverzameling van het gesloten interval ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2].}$

De zogenaamde Alexandrov-compactificatie of eenpuntscompactifiatie voegt aan iedere topologische ruimte ${\displaystyle X}$ een punt ${\displaystyle \infty }$ toe. Als de oorspronkelijke ruimte niet compact was, dan is ${\displaystyle \infty }$ een afsluitingspunt van ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle X\cup \{\infty \}.}$ Toegepast op de reële getallen levert dit een ruimte op die homeomorf (topologisch gelijkwaardig) is met ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$. Toegepast op het reële vlak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ wat topologisch op hetzelfde neerkomt als de verzameling der complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ levert dit de complexe projectieve rechte ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ op, ook bekend als de Riemann-sfeer.