Langlands-programma

Als uitgangspunt van het programma kan reciprociteitswet van Emil Artin worden gezien. In deze wet veralgemeent Artin de kwadratische reciprociteit. De Artin-reciprociteitswet is van toepassing op een galois-uitbreiding van algebraïsche getallenlichamen, waarvan de galoisgroep een abelse groep is, zij wijst L-functies toe aan een-dimensionale weergaven van die Galoisgroep, en stelt dat deze L-functies identiek zijn aan zekere dirichlet-L-reeks of meer algemene reeksen (dat wil zeggen, bepaalde analoga van de riemann-zèta-functie) opgebouwd uit hecke-karakters. De precieze correspondentie tussen deze verschillende soorten van L-functies vormt Artins wederkerigheidswet.

Voor niet-abelse galoisgroepen en hoger-dimensionale representaties daarvan, kan men nog steeds L-functies definiëren op een natuurlijke manier: Artin-L-functies.

Langlands ontving in 1996 de Wolfprijs, in 2006 de Nemmersprijs en in 2018 de Abelprijs in de wiskunde als erkenning voor zijn werk over deze vermoedens.

Laurent Lafforgue ontving in 2002 de Fields-medaille voor zijn werk over het functieveldgeval. Dit werk borduurde voort op eerder onderzoek door Vladimir Drinfel'd, die al eerder, in 1990, ook een Fields-medaille voor zijn werk mocht ontvangen.

• (en) James Arthur: The Principle of Functoriality (Het principe van functorialiteit), Bulletin of the AMS v.40 no. 1 oktober 2002
• (en) Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program (Een elementaire introductie tot het Langlands programma), Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
• (en) Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, (Colleges over het Langlands programma en de hoekgetrouwe veldtheorie) hep-th/0512172
• (en) J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program (Een introductie tot het Langlands programma), ISBN 3-7643-3211-5