Lebesgue-maat

Henri Lebesgue beschreef de lebesgue-maat in 1901. Het jaar daarna beschreef hij de lebesgue-integraal. Beide beschrijvingen werden in 1902 als onderdeel van zijn proefschrift gepubliceerd.[1]

• Als ${\displaystyle A}$ een gesloten interval ${\displaystyle [a,b]}$, dan is de lebesgue-maat van ${\displaystyle A}$ de lengte ${\displaystyle b-a}$. Het open interval ${\displaystyle (a,b)}$ heeft dezelfde maat, aangezien het verschil tussen de twee verzamelingen de maat nul heeft.
• Als ${\displaystyle A}$ een Cartesisch product is van de intervallen ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle [c,d]}$, dan is ${\displaystyle A}$ een rechthoek en is de lebesgue-maat van ${\displaystyle A}$ gelijk aan de oppervlakte ${\displaystyle (b-a)(d-c)}$ van deze rechthoek.
• De Cantorverzameling is een voorbeeld van een overaftelbare verzameling die lebesgue-maat nul heeft.

De lebesgue-maat op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ heeft de volgende eigenschappen:

1. Als de hyperrechthoek ${\displaystyle A}$ het cartesisch product is van de intervallen ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{n}}$: ${\displaystyle A=I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{n}}$, dan is ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar en is de maat van ${\displaystyle A}$ gelijk aan het product van de lengten van de intervallen: ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot \ldots \cdot |I_{n}|.}$ Hier staat ${\displaystyle |I|}$ voor de lengte van het interval ${\displaystyle I}$.
2. Als ${\displaystyle A}$ een disjuncte vereniging van eindig veel of aftelbaar veel disjuncte lebesgue-meetbare verzamelingen, dan is ${\displaystyle A}$ zelf lebesgue-meetbaar en is ${\displaystyle \lambda (A)}$ gelijk aan de som (of oneindige reeks) van de maten van de betrokken meetbare verzamelingen.
3. Als ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar is, dan is het complement van ${\displaystyle A}$ dit ook.
4. ${\displaystyle \lambda (A)\geq 0}$ voor elke lebesgue-meetbare verzameling ${\displaystyle A}$.
5. Als ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ lebesgue-meetbaar zijn en ${\displaystyle A}$ is een deelverzameling van ${\displaystyle B}$, dan is ${\displaystyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$. Dit volgt uit 2, 3 en 4.
6. Aftelbare verenigingen en doorsneden van lebesgue-meetbare verzamelingen zijn lebesgue-meetbaar. Dit volgt niet uit 2 en 3, omdat een familie van verzamelingen die gesloten is onder complementen en disjuncte telbare verenigingen, niet gesloten hoeft te zijn onder aftelbare verenigingen, zoals te zien is aan: ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$.
7. Als ${\displaystyle A}$ een open of gesloten deelverzameling is van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (of zelfs een borel-verzameling, zie metrische ruimte), dan is ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar.
8. Als ${\displaystyle A}$ een lebesgue-meetbare verzameling is, dan is ${\displaystyle A}$ "bij benadering open" en "bij benadering gesloten" in de zin van een lebesgue-maat (zie de regelmatigheidssteling voor de lebesgue-maat).
9. Een lebesgue-maat is zowel een lokaal eindige als een inwendig regelmatige maat, en is dus een Radon-maat.
10. Een lebesgue-maat is strikt positief op een niet-lege open verzameling, en daarom is de drager het geheel van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
11. Als ${\displaystyle A}$ een lebesgue-meetbare verzameling is met ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ (een nulverzameling), dan is elke deelverzameling van ${\displaystyle A}$ ook een nulverzameling. A fortiori is elke deelverzameling van ${\displaystyle A}$ meetbaar.
12. Als ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar is en ${\displaystyle x}$ is een element van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dan is de translatie van ${\displaystyle A}$ over ${\displaystyle x}$, gedefinieerd door ${\displaystyle A+x=\{a+x|a\in A\}}$ ook lebesgue-meetbaar en heeft deze dezelfde maat als ${\displaystyle A}$.
13. Als ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar is en ${\displaystyle \delta >0}$, dan is de uitzetting van ${\displaystyle A}$ door ${\displaystyle \delta }$ gedefinieerd door ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:|x\in A\}}$ ook lebesgue-meetbaar en heeft deze de maat ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda (A)}$.
14. Meer in het algemeen, als ${\displaystyle T}$ een lineaire transformatie is en ${\displaystyle A}$ een meetbare deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dan is ${\displaystyle T(A)}$ ook lebesgue-meetbaar en heeft de maat ${\displaystyle \lambda (T(A))=|\det(T)|\,\lambda (A)}$.

De veertien bovenstaande punten kunnen als volgt beknopt worden samengevat:

"De lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra die alle producten van intervallen bevat en waar λ de unieke volledige translatie-invariante maat is op deze σ-algebra met ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1}$."

De lebesgue-maat heeft verder de eigenschap dat hij σ-eindig is.

Een deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is een nulverzameling, als zij voor elke ${\displaystyle \varepsilon >0}$ kan worden bedekt met aftelbaar veel producten van ${\displaystyle n}$ intervallen, waarvan het totale volume ten hoogste gelijk is aan ${\displaystyle \varepsilon }$. Alle aftelbare verzamelingen zijn ook nulverzamelingen.

Als een deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ een hausdorff-dimensie heeft van minder dan ${\displaystyle n}$ dan is deze deelverzameling een nulverzameling met betrekking tot de ${\displaystyle n}$-dimensionale lebesgue-maat. De hausdorff-dimensie is hier relatief ten opzichte van de Euclidische metriek van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (of enig ander metrische Lipschitz-equivalent daarvan). Aan de andere kant kan een verzameling een topologische dimensie minder dan ${\displaystyle n}$ hebben en toch een positieve ${\displaystyle n}$-dimensionale lebesgue-maat hebben. Een voorbeeld hiervan is de Smith-Volterra-Cantor-verzameling die een topologische dimensie 0 heeft en tegelijkertijd ook een positieve eendimensionale lebesgue-maat.

Om te laten zien dat een gegeven verzameling ${\displaystyle A}$ lebesgue-meetbaar is, probeert men gewoonlijk om een "mooiere" verzameling ${\displaystyle B}$ te vinden, die alleen van ${\displaystyle A}$ verschilt door een nulverzameling (in de zin dat het symmetrische verschil ${\displaystyle (A-B)\cup (B-A)}$ een nulverzameling is). Vervolgens laat men zien dat ${\displaystyle B}$ kan worden gegenereerd door gebruik te maken van aftelbare verenigingen en doorsnedes van open of gesloten verzamelingen.

De moderne constructie van de lebesgue-maat, gebaseerd op de uitwendige maten, is ingevoerd door Carathéodory. De constructie gaat als volgt.

In ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dimensies wordt het "volume" ${\displaystyle \operatorname {vol} (B)}$ van de hyperrechthoek ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ van de vorm

${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$,

waarin ${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$ gedefinieerd als het product ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

Voor enige deelverzameling ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wordt de uitwendige maat ${\displaystyle \lambda ^{*}(A)}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{j\in J}\operatorname {vol} (B_{j}){\Bigr \}}}$,

waarin het infimum genomen is over alle aftelbare collecties van hyperrechthoeken ${\displaystyle \{B_{j}|j\in J\}}$ waarvan de vereniging ${\displaystyle A}$ overdekt.

De verzameling ${\displaystyle A}$ is dan lebesgue-meetbaar als voor alle deelverzamelingen ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S-A)}$

Deze lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra en de lebesgue-maat wordt gedefinieerd door ${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{*}(A)}$ voor enige lebesgue-meetbare verzameling ${\displaystyle A}$.

Volgens de stelling van Vitali bestaat er een deelverzameling van de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die niet lebesgue-meetbaar is. Het is zelfs sterker: als ${\displaystyle A}$ enige deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is met een positieve maat, dan heeft ${\displaystyle A}$ deelverzamelingen die niet lebesgue-meetbaar zijn.

De borelmaat komt op die verzamelingen, waarvoor hij is gedefinieerd, overeen met de lebesgue-maat. Er zijn echter veel meer lebesgue-meetbare verzamelingen dan er borel-meetbare verzamelingen zijn. De borelmaat is translatie-invariant, maar de borelmaat is niet volledig.

De haar-maat kan worden gedefinieerd op elke lokaal compacte topologische groep en is een veralgemening van de lebesgue-maat (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ met de operatie optellen is een lokaal compacte groep).

De hausdorffmaat is een veralgemening van de lebesgue-maat, die nuttig is voor het meten van de deelverzamelingen van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ van lagere dimensies dan ${\displaystyle n}$, zoals deelvariëteiten, bijvoorbeeld, oppervlakken of krommen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ en fractale verzamelingen.

• Dichtheidsstelling van Lebesgue