Dichtheidsstelling van Lebesgue

Laat ${\displaystyle \mu }$ de Lebesgue-maat op de Euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ${\displaystyle A}$ een Lebesgue-meetbare deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zijn. Definieer de dichtheid bij benadering van ${\displaystyle A}$ in een ${\displaystyle \varepsilon }$-omgeving van een punt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ als

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$

waarin ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ de gesloten bol aanduidt met straal ${\displaystyle \varepsilon }$ en middelpunt ${\displaystyle x}$.

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat voor bijna elk punt van ${\displaystyle A}$ de dichtheid

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

bestaat en gelijk is aan 1.

In andere woorden: voor elke meetbare verzameling ${\displaystyle A}$ is de dichtheid van ${\displaystyle A}$ bijna overal in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gelijk aan 0 of 1. Het is echter een opmerkelijk feit dat als ${\displaystyle \mu (A)>0}$ en ${\displaystyle \mu (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0}$, er dan altijd punten van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bestaan waar de dichtheid noch 0 noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. De verzameling van de punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is dus niet-leeg (de randen van het vierkant), maar de verzameling is verwaarloosbaar.

• (en) Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus (Drie roosterpunt problemen van Steinhaus). Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.
• (en) Dichtsheidsstelling van Lebesgue op PlanetMath