Symmetrisch verschil

Het symmetrische verschil ${\displaystyle A\Delta B}$ van de verzamelingen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is de verzameling gedefinieerd door:

${\displaystyle A\Delta B=\{x\in A\cup B\mid x\not \in A\cap B\}}$

Het symmetrische verschil kan ook geschreven worden als:

${\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

${\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

${\displaystyle A\Delta B=(A\cap B^{c})\cup (B\cap A^{c})}$

Commutativiteit:

${\displaystyle A\Delta B=B\Delta A}$

Associativiteit

${\displaystyle (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)}$

De lege verzameling is neutraal element

${\displaystyle A\Delta \varnothing =A}$

Elke verzameling is z'n eigen tegengestelde:

${\displaystyle A\Delta A=\varnothing }$

Samen betekenen deze eigenschappen dat de deelverzamelingen van een gegeven verzameling een abelse groep vormen met het symmetrische verschil als groepsbewerking. En omdat elk element z'n eigen tegengestelde is, vormen de deelverzamelingen een vectorruimte over het eindige lichaam ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ met twee elementen.

Doorsnede is distributief:

${\displaystyle A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C),}$

zodat de deelverzamelingen zelfs een ring vormen met het symmetrische verschil als optelling en doorsnede als vermenigvuldiging.

In elke booleaanse algebra kan op analoge wijze als voor verzamelingen het symmetrische verschil van twee elementen gedefinieerd worden:

${\displaystyle a\Delta b=(a\lor b)\land \lnot (a\land b)=(a\land \lnot b)\lor (b\land \lnot a)}$

Deze bewerking heeft dan dezelfde eigenschappen als voor verzamelingen.

• Verschil
• Doorsnede
• Vereniging