Inductiewet van Faraday

Een roterende rechthoekige lus in een uniform magnetisch veld

Als het bovengenoemde raam roteert in een constant en homogeen magnetisch veld ${\displaystyle B}$ met een constante hoeksnelheid ${\displaystyle \omega }$, zodanig dat

${\displaystyle \theta =\omega t}$,

wordt de magnetische flux

${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{B}=S\,B\,\cos(\omega t).}$

Daarin is ${\displaystyle S=xy}$ de oppervlakte van het raam.

De elektromotorische kracht die in het raam wordt opgewekt, is dan

${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {{\rm {d}}{\mathit {\Phi }}_{B}}{{\rm {d}}t}}=S\,B\,\omega \,\sin(\omega t).}$

Als het raam niet uit één, maar uit ${\displaystyle N}$ windingen bestaat, wordt de elektromotorische kracht ${\displaystyle N}$ keer zo groot.

De geleider L beweegt zich met een snelheid ${\displaystyle v}$ over de rails

Over een U-vormige geleider met breedte ${\displaystyle l}$ kan zich een rechte geleidende draad L loodrecht op de benen bewegen. Het geheel is geplaatst in een constant, homogeen magnetisch veld ${\displaystyle B}$. Bij beweging van de draad zal alleen de oppervlakte ${\displaystyle l\cdot x}$ waarin de flux aanwezig is, zich wijzigen. Voor de flux door het oppervlak en de verandering van die flux als de draad zich met een snelheid ${\displaystyle v}$ voortbeweegt, geldt:

${\displaystyle {\mathit {\Phi _{B}}}=lxB}$,

dus

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\mathit {\Phi _{B}}}}{{\rm {d}}t}}=lB{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}=lBv}$.

De absolute waarde van de elektromotorische kracht is dus

${\displaystyle |{\mathcal {E}}|=lBv}$.

De grootte van deze geïnduceerde elektromotorische kracht kan ook afgeleid worden met behulp van de lorentzkracht. Immers wanneer de geleider L met een snelheid ${\displaystyle v}$ wordt bewogen, zullen de ladingen in die geleider (elektronen in het geval van metaal) meebewegen. Voor een lading ${\displaystyle q}$ wordt de ondervonden lorentzkracht

${\displaystyle {\vec {F}}=q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

Omdat de vectoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ en ${\displaystyle {\vec {B}}}$ loodrecht op elkaar staan en de snelheid ${\displaystyle {\vec {v}}}$ in de tekening volgens de positieve x-as gericht is, wordt die kracht gelijk aan ${\displaystyle F=qvB}$, met richting van ${\displaystyle c}$ naar ${\displaystyle d}$. Per ladingseenheid bedraagt de kracht dus vB. Het optreden van de lorentzkracht is dus equivalent met het optreden van een elektrisch veld, waarvan de veldsterkte E gelijk is aan vB. Tussen de punten ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle d}$ zal dus ten gevolge van de lorentzkracht een potentiaalverschil El = vBl ontstaan. Men ziet dat de elektromotorische kracht die ontstaat door de veranderende magnetisch flux door het oppervlak gelijk is aan dit potentiaalverschil. Gebruikmakend van de lorentzkracht kan ook de uitdrukking voor de elektromotorische kracht in het roterende raam worden gevonden

Gekoppelde spoelen Γ1 en Γ2

Een veranderend magnetisch veld kan niet alleen worden opgewekt door een permanente magneet in de lengterichting van een spoel te bewegen, maar kan ook ontstaan door een veranderende elektrische stroom in een eerste spoel ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ te doen lopen dat met een tweede spoel ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ gekoppeld is. Het veranderende magnetische veld opgewekt in de eerste spoel, zal in de tweede spoel een veranderende flux veroorzaken, waardoor in deze laatste een elektromotorische kracht ontstaat die evenredig is met zijn constante oppervlakte ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ en met de verandering van het magnetische veld

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}=-\Sigma _{2}{\frac {{\rm {d}}B_{1}}{{\rm {d}}t}}}$.

Dit verschijnsel wordt ook wederzijdse inductie genoemd. Hebben de twee spoelen een verschillend aantal windingen dan verklaart het de werking van een transformator.

Omdat in al deze gevallen het oppervlak ${\displaystyle A}$ niet verandert, kan de inductiewet geschreven worden als

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {{\rm {d}}{\mathit {\Phi _{B}}}}{{\rm {d}}t}}=-\int _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\rm {d}}{\vec {A}}}$.

Dit geval van magnetische inductie kan niet verklaard worden met behulp van de lorentzkracht, immers de twee spoelen zijn niet noodzakelijk in beweging. Het verschijnsel zal ook optreden als men alleen de stroom in de eerste spoel varieert. Men zou hieruit kunnen besluiten dat we te doen hebben met een ander fenomeen. Men kan echter algemeen aantonen, dat het inductieverschijnsel alleen zal afhangen van de verandering van de magnetische flux, onverschillig door welke oorzaak deze verandering tot stand komt. De meest algemene formulering van de inductiewet voor een stilstaande of beweegbare lus in een veranderlijk magnetisch veld luidt dan ook ${\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}{\mathit {\Phi _{B}}}}{{\rm {d}}t}}=-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\int _{A(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\rm {d}}{\vec {A}}}$

Boven-Zijaanzicht van een zelfinductie L met open klemmen Onder - Bovenaanzicht

Een ideale spoel is een spoel die voldoende lang is met windingen die dicht tegen elkaar liggen, zodanig dat het magnetisch veld in het inwendige geconcentreerd blijft. Ze bestaat verder uit een perfecte geleider.

We beschouwen een dergelijke spoel waarvan de aansluitklemmen A en B open zijn, zodat er door de spoel geen stroom (${\displaystyle I=0}$) kan lopen. Heerst nu in deze spoel een veranderlijk magnetisch veld (dat toenemend is in het geval van de afbeelding) dan wordt er in de spoel door inductie een overeenkomende elektromotorische kracht opgewekt. Het resulterende elektrische veld moet nu gelijk zijn aan nul omdat anders op de ladingsdragers krachten zouden werken, waardoor ze, omdat ze geen enkele weerstand ondervinden, zich zo zouden verplaatsen dat het veld wordt opgeheven. Anderzijds weten we dat de inductiewet van Faraday eist dat er ter plaatse van de geleider een geïnduceerd elektrisch veld ${\displaystyle E_{\text{ind}}}$ verschillend van nul moet heersen. Deze schijnbare tegenstrijdigheid kan worden opgelost, als men inziet dat het veld ${\displaystyle E_{\text{ind}}}$ de ladingsdragers ogenblikkelijk drijft naar de uiteinden van de spoel nabij de aansluitpunten A en B om zich daar op te hopen. Door de aanwezigheid van deze ladingen ontstaat er in de geleider een tegengesteld elektrostatische veld of Coulombveld ${\displaystyle E_{C}}$ dat op ieder moment het veld ${\displaystyle E_{\text{ind}}}$ compenseert. Op deze manier is het netto elektrische veld ${\displaystyle E_{\text{ind}}+E_{C}}$ steeds gelijk aan nul. Men ziet dus dat

${\displaystyle \int _{L}{\vec {E}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}=\int _{L}{\vec {E_{\text{ind}}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}+\int _{L}{\vec {E_{C}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}={\mathcal {E}}+\int _{L}{\vec {E_{c}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}=0}$

of

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{L}{\vec {E_{c}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}}$

Het elektrostatische veld is echter wel conservatief, zodat er voor een elke lus door de spoel en daarbuiten (bijvoorbeeld de blauwe weg door R)

${\displaystyle \int _{L}{\vec {E_{c}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}=-\int _{R}{\vec {E_{c}}}\cdot {\rm {d}}{\vec {l}}=V,}$

waarin ${\displaystyle V}$ nu het potentiaalverschil is tussen A en B. Daarmee is ${\displaystyle {\mathcal {E}}=-V}$ en gedraagt de spoel zich als een spanningsbron. In netwerken mag een spoel daarom beschouwd worden als een spanningsbron die een spanning ${\displaystyle V}$ levert gelijk aan

${\displaystyle V=L{\frac {{\rm {d}}I}{{\rm {d}}t}},}$

en kunnen we oogluikend toch de tweede wet van Kirchhoff toepassen.

Maakt een dergelijke spoel deel uit van een gesloten kring waarin een veranderlijke elektrische stroom loopt, dan zal ook in de spoel zelf het inductieverschijnsel zich voordoen. Er is sprake van zelfinductie. Het magnetische veld binnen de spoel is de som van alle bijdragen van elk van de windingen afzonderlijk en is daarom evenredig met de stroomsterkte ${\displaystyle I,}$ die voor elke winding dezelfde is. De magnetische flux in het inwendige van de spoel zal dus ook evenredig zijn met die stroomsterkte. De evenredigheidsfactor wordt meestal voorgesteld door ${\displaystyle L.}$ Deze factor is een constante voor een bepaalde vorm en afmeting van de spoel. Er geldt dus ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{B}=LI,}$ zodat de elektromotorische kracht die in de spoel wordt opgewekt, gelijk is aan

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {{\rm {d}}{\mathit {\Phi _{B}}}}{{\rm {d}}t}}=-L{\frac {{\rm {d}}I}{{\rm {d}}t}}~.}$

Als de spoel op een spanning ${\displaystyle V}$ wordt aangesloten, zal de verandering van de stroom zo zijn dat ${\displaystyle {\mathcal {E}}=-V,}$ dus ${\displaystyle {\rm {d}}I/{\rm {d}}t=V/L.}$ Bij een constante spanning ${\displaystyle V,}$ zal de stroom lineair met de tijd toenemen, in principe onbegrensd. In de praktijk kan de stroom niet onbeperkt toenemen en bereikt een maximale waarde, waarna er geen verandering meer van de magnetische flux is en wordt de elektromotorische kracht gelijk wordt aan nul.

RLC kring

De RLC-kring bestaat uit een serieschakeling van een weerstand ${\displaystyle R}$, een spoel ${\displaystyle L}$ en een condensator ${\displaystyle C}$ aangesloten op een spanningsbron ${\displaystyle V.}$ In de praktijk zal de spoel een zekere kleine inwendige weerstand ${\displaystyle r}$ bezitten. Deze weerstand kan als deel van de uitwendige weerstand ${\displaystyle R}$ gedacht worden. Omdat de k ring een zelfinductie ${\displaystyle L}$ bevat moet we in principe de wet van Faraday toegepast worden:

${\displaystyle \oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-L{\frac {\mathrm {d} {\mathit {I}}}{\mathrm {d} t}}}$

In de kring kiest men een omloopzin en past op het linker lid de volgende tekenconventie toe. Van een hogere naar een lagere potentiaal rekent men de bijdrage positief en andersom negatief. Met een omloopzin volgens de wijzers van de klok levert dat

${\displaystyle IR+0+V_{c}-V=-L{\frac {\mathrm {d} {\mathit {I}}}{\mathrm {d} t}}}$

De tweede term van het linkerlid is nul, omdat er geen elektrisch veld aanwezig is in een spoel. Dit alles kan ook nog geschreven worden in de gedaante van de tweede wet van Kirchhoff door het rechterlid naar de andere kant van het gelijkheidsteken te brengen:

${\displaystyle IR+L{\frac {\mathrm {d} {\mathit {I}}}{\mathrm {d} t}}+V_{c}-V=0}$

Uit het bovenstaande weten we dat we gerechtigd zijn dit te doen en we hebben als nieuwe regel voor de tweede wet van Kirchhoff dat wanneer de omlooprichting gelijk is aan de richting van de stroom de verandering van de potentiaal over de spoel gelijk is aan ${\displaystyle L{\rm {d}}I/{\rm {d}}t.}$