Lorentztransformatie

Als tijdcoördinaat kiezen we ${\displaystyle \tau =ct}$, de afstand die het licht in vacuüm aflegt in de tijd t.

Lorentzinvariantie wordt gedefinieerd als het gelijk blijven van ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-d\tau ^{2}\,}$.

Een lorentztransformatie is dan een coördinatentransformatie van de minkowski-ruimte met lorentzinvariantie die de oorsprong (0,0,0,0) in zichzelf overvoert, en de oriëntatie van de tijd langs een wereldlijn niet omdraait.

Als rotaties van de ruimte buiten beschouwing worden gelaten is een lorentztransformatie een transformatie in verband met de overgang naar een ander inertiaalstelsel, waarvan de oorsprong met een constante snelheid beweegt ten opzichte van het eerste, maar waarbij de richtingen in de ruimte van de ruimteassen in beide stelsels gelijk zijn. Ter verdere vereenvoudiging nemen we aan dat deze snelheid van S' ten opzichte van S in de x-richting is.

Tussen de tijdruimte-coördinaten ${\displaystyle (x,y,z,\tau )}$ in S en ${\displaystyle (x',y',z',\tau ')}$ in S' geldt dan de volgende relatie:

${\displaystyle x'=\gamma (x-\beta \tau )}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle \tau '=\gamma (\tau -\beta x)}$

met

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Natuurkundig is ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$, met ${\displaystyle c}$ de lichtsnelheid.

In termen van ${\displaystyle t}$ en ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

met

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$

Door eenvoudige berekening is de genoemde lorentzinvariantie te controleren. Verder geldt dat als elke oplossing voor een bewegingsvergelijking een oplossing van diezelfde vergelijking blijft na lorentztransformatie, dat deze vergelijking lorentzinvariant is. Alle fundamentele vergelijkingen in de natuurkunde zijn lorentzinvariant, inclusief de maxwellvergelijkingen van het elektromagnetisme. Dat wil zeggen dat dezelfde vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de natuurkunde te beschrijven vanuit elk willekeurig standpunt, eenparig bewegend of niet.

Een van de eigenschappen van de tijdruimte die uit de lorentztransformatie volgt is de lorentzcontractie: het feit dat wanneer iets een snelheid heeft die dicht bij de lichtsnelheid ligt, de afgelegde weg korter lijkt dan voor iemand die stilstaat. Dit effect wordt onder andere gebruikt in een undulator op een synchrotron.

Lorentzcontractie wordt ook wel Lorentz-FitzGeraldcontractie genoemd, aangezien de Ierse natuurkundige George Francis FitzGerald onafhankelijk van Lorentz dezelfde contractie had voorgesteld.

Lorentz ontdekte in 1900 dat de later naar hem genoemde transformatie de Maxwellvergelijkingen onveranderd laat (maar de Duitse natuurkundige Woldemar Voigt vond ze al eerder). Albert Einstein ontwikkelde later de speciale relativiteitstheorie, die hierop gebaseerd is.

De lorentztransformaties (de coördinatentransformaties van de minkowski-ruimtetijd met lorentzinvariantie die de oorsprong (0,0,0,0) in zichzelf overvoeren, dus inclusief rotaties en alle richtingen van v) vormen de zogenoemde lorentz-groep.

Deze vormt daarmee het alternatief voor de verzameling van galileitransformaties uit de klassieke mechanica die de oorsprong (0,0,0,0) in zichzelf overvoeren (dus de ruimtelijke oorsprong in zichzelf overvoeren en de absolute tijd niet veranderen), die ook een groep vormt.

De lorentztransformatie wordt afgeleid door transformaties te zoeken waarin de lichtsnelheid invariant is. Over het algemeen wordt hierbij uitgegaan van twee dimensies: de x-coördinaat en de tijd. Als men uitgaat van een lineaire transformatie, dan is die in de meest algemene vorm te schrijven als:

${\displaystyle x'=px+qt}$

${\displaystyle t'=rx+st}$

Hierin zijn ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle t}$ in het laboratoriumstelsel S, en ${\displaystyle x'}$ en ${\displaystyle t'}$ in het waarnemerstelsel S’, dat met een snelheid ${\displaystyle v}$ beweegt ten opzichte van S. De grootheden ${\displaystyle p,\,q,\,r}$ en ${\displaystyle s}$ zijn nog te bepalen functies van die snelheid.

Een lichtstraal wordt in S beschreven door:

${\displaystyle x=ct}$

In S' heeft deze ook de lichtsnelheid en wordt dus beschreven door:

${\displaystyle x'=ct'}$

Hetzelfde geldt voor een lichtstraal in de andere richting:

${\displaystyle x=-ct}$

en

${\displaystyle x'=-ct'}$

Dit levert de volgende vergelijkingen:

${\displaystyle x'=pct+qt=ct'=c(rct+st)=rc^{2}t+sct}$

en

${\displaystyle -pct+qt=-c(-rct+st)=rc^{2}t-sct}$

Door deze te combineren vindt men eenvoudig ${\displaystyle q=rc^{2}}$ en ${\displaystyle p=s}$. De transformatie wordt vereenvoudigd tot:

${\displaystyle x'=sx+rc^{2}t}$

${\displaystyle t'=rx+st}$

Beschouw nu de oorsprong van S'. Deze wordt beschreven door

${\displaystyle x=vt}$,

maar ook door

${\displaystyle x'=0}$,

zodat:

${\displaystyle x'=svt+rc^{2}t=0}$

Hieruit volgt

${\displaystyle r=-v/c^{2}s}$

en dus:

${\displaystyle x'=s(v)(x-vt)}$

en

${\displaystyle t'=s(v)(-vx/c^{2}+t)}$

Nu rest alleen nog het bepalen van de functie ${\displaystyle s(v)}$. Beschouw hiervoor een derde stelsel S” dat ten opzichte van S’ beweegt met snelheid ${\displaystyle -v}$. Er volgt een transformatie van S naar S”:

${\displaystyle x''=s(v')(x'-v't')=s(-v)(x'+vt')=}$

${\displaystyle =s(-v)s(v)((x-vt)+v(-vx/c^{2}+t))=s(v)^{2}(1-(v/c)^{2})x}$

${\displaystyle t''=s(v')(-v'x'/c^{2}+t')=s(-v)(vx'/c^{2}+t')=}$

${\displaystyle =s(-v)s(v)(v(x-vt)/c^{2}+(-vx/c^{2}+t))=s(v)^{2}(1-(v/c)^{2})t}$

Hierbij is gebruikt dat vanwege symmetrie: ${\displaystyle s(-v)=s(v)}$. Voor kwalitatieve veranderingen maakt het immers niet uit welke kant men op beweegt. Er volgt direct dat S en S” niet ten opzichte van elkaar bewegen, zodat S” hetzelfde stelsel moet zijn als S met: ${\displaystyle x''=x}$ en ${\displaystyle t''=t}$. Daarmee vindt men uiteindelijk:

${\displaystyle s(v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$

Hiermee is de lorentztransformatie in één dimensie afgeleid, dat wil zeggen voor de plaatscoördinaat in de richting van ${\displaystyle v}$. Om aan te tonen dat alleen een lineaire transformatie mogelijk is, of om de transformatie van richtingen loodrecht op ${\displaystyle v}$ (hier ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle z}$) af te leiden, heeft men een iets uitgebreidere analyse nodig.

In veel afleidingen van de lorentztransformatie, wordt de transformatie van ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle z}$ (de coördinaten loodrecht op de beweging van de waarnemer) afgedaan als triviaal omdat zij in ieder stelsel dezelfde waarde hebben. Inderdaad is het voldoende om te controleren dat de lichtsnelheid bij een gegeven transformatie invariant is (bijvoorbeeld met snelheidstransformatie) om deze te kunnen gebruiken in de relativiteitstheorie. Toch is het de vraag of de transformaties waarbij ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle z}$ niet transformeren de enige mogelijkheid zijn. Om dit enigszins te onderzoeken kan men een lichtstraal beschouwen die in stelsel S wordt uitgezonden vanaf de ruimtetijd-oorsprong, in een willekeurige richting. Zo'n lichtstraal kan op tijd ${\displaystyle t=t_{1}}$ de positie ${\displaystyle x=x_{1},\,y=y_{1},\,}$ bereiken, waarbij ${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(ct_{1})^{2}}$.

Volgens de lorentztransformatie zou de lichtstraal in een stelsel S’ vanuit de oorsprong op tijd ${\displaystyle t_{1}'=\gamma (t_{1}-ux_{1}/c^{2})}$ de positie ${\displaystyle x_{1}'=\gamma (x_{1}-ut_{1}),\,y_{1}'=y_{1}}$ bereiken. Wij controleren de afstand:

${\displaystyle {\sqrt {(\gamma (x_{1}-ut_{1}))^{2}+y_{1}^{2}}}=\gamma {\sqrt {(x_{1}-ut_{1})^{2}+(1-(u/c)^{2})((ct_{1})^{2}-x_{1}^{2})}}=}$

${\displaystyle =\gamma {\sqrt {(ct_{1})^{2}+(ux_{1}/c)^{2}-2x_{1}ut_{1}}}=\gamma {\sqrt {(ct_{1}-ux_{1}/c)^{2}}}=ct_{1}'}$

De gegeven tijd klopt dus ook in stelsel S’ met de afstand. Bij een derde ruimtedimensie wordt ${\displaystyle y_{1}^{2}}$ alleen maar vervangen door ${\displaystyle y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$, waarmee eenvoudig is te zien dat het dan ook klopt. Hiermee is geenszins bewezen dat de gegeven lorentztransformatie de enige mogelijke is, maar wel dat het waarschijnlijk is dat alleen transformaties mogelijk zijn waarbij voor de y- en de z-as geen contractie optreedt.