Wet van Gauss

In zijn integraalvorm zegt de formule:

${\displaystyle \Phi =\iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \ \ {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}={1 \over \varepsilon _{0}}\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} V={1 \over \varepsilon _{0}}Q}$

Daarbij is ${\displaystyle {\vec {E}}}$ het elektrisch veld, ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}}$ is de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak ${\displaystyle A=\partial V}$ met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt, ${\displaystyle Q}$ is de lading die omsloten wordt door het oppervlak, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ is de permittiviteit in vacuüm en ${\displaystyle \iint _{A}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc }$ de integraal over het oppervlak ${\displaystyle A}$ om het volume ${\displaystyle V}$.

In differentiële vorm wordt de vergelijking:

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}=\nabla \cdot {\vec {E}}=\rho /\varepsilon _{0}}$

waarin ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}}$ de divergentie van het elektrische veld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ is en ${\displaystyle \rho }$ de elektrische ladingdichtheid.

Een elektrisch veld is rotatievrij en bezit daarom een potentiaal ${\displaystyle V}$. Er geldt:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla V}$

Past men de differentiaalvorm toe, dan ontstaat de poissonvergelijking voor de potentiaal.

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=-\nabla \cdot \nabla V=-\Delta V={\rho \over \varepsilon _{0}}}$

of:

${\displaystyle \Delta V=-{\rho ({\vec {r}}) \over \varepsilon _{0}}}$

waarin ${\displaystyle \Delta }$ de laplace-operator is.

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

${\displaystyle E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

met ${\displaystyle E}$ de elektrische veldsterkte op straalafstand ${\displaystyle r}$ buiten de bol tot het middelpunt van de bol is, ${\displaystyle Q}$ de ingesloten lading en ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ de permittiviteit van vacuüm. Er geldt

${\displaystyle \varepsilon _{0}=8{,}854187817\cdot 10^{-12}}$ F/m.[1]

De bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld van het kwadraat van de afstand, in de wet van Coulomb, volgt dus uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijkingen werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling (zie omgekeerde kwadratenwet). Zie ook divergentiestelling. Deze varianten van de wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetisch veld ontbeert monopolen, zodat div B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {F}}\right)dV=\iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}}$

die zegt dat de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume.

Hieruit volgt vrij eenvoudig dat

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=\rho /\varepsilon _{0}}$

en

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

• Wetten van Maxwell
• Carl Friedrich Gauss
• Divergentiestelling
• Flux
• Spoelgeweer

• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.