Elektrostatica

De wet van Coulomb beschrijft de wisselwerking tussen twee puntladingen. Men kan stellen dat het elektrostatische veld van de ene lading interfereert met de andere lading, en andersom.

Het veld opgewekt door één puntlading is:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\vec {r}}}$

Beschouw een puntlading ${\displaystyle Q_{p}}$ en pas de stelling van Gauss omgekeerd toe. Dat geeft de totale elektrostatische flux door het oppervlak:

${\displaystyle {\frac {Q_{p}}{\varepsilon _{0}}}=\oint \limits _{S}{\vec {E}}}$

Aangezien het veld in alle punten op de bol hetzelde is (symmetrie), kan het elektrostatisch veld in een punt hiervan afgeleid worden:

${\displaystyle 4\pi r^{2}E(r)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$,

dus

${\displaystyle E={\frac {Q}{4\pi r^{2}\varepsilon _{0}}}}$

Op analoge wijze kan het veld opgewekt door een elektrisch geladen lijn, vlak, bol, enz., eenvoudig afgeleid worden (eventueel bij benadering). Het mag duidelijk zijn dat het veld veroorzaakt door een geladen bol identiek is aan het veld veroorzaakt door een puntlading, zolang men het veld buiten de bol bekijkt.

Beschouw een oneindig lange ladingslijn en een symmetrisch oppervlak rond die lijn, namelijk een cilinder met als as de ladingslijn, hoogte h, en straal van boven- en ondervlak ${\displaystyle r_{0}}$.

Vanwege de symmetrie van de opstelling moet het elektrisch veld loodrecht staan op ladingslijn.

De integraal over deze cilinder wordt dan:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=\oint \limits _{\text{mantel}}{\vec {E}}\cdot \,\mathrm {d} {\vec {S}}+\oint \limits _{\text{boven+ondervlak}}{\vec {E}}\cdot \,\mathrm {d} {\vec {S}}}$

Aangezien het veld loodrecht staat op de geleider, is ${\displaystyle {\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}}$ voor de zijvlakken 0, en voor de mantel ${\displaystyle E}$. Daarom is:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot \,\mathrm {d} {\vec {S}}=\oint \limits _{\text{mantel}}E=E\,Opp_{\text{mantel}}=2\pi hr_{0}\,E}$

Volgens de wet van Gauss is dat gelijk aan ${\displaystyle {\frac {Q_{s}}{\varepsilon _{0}}}=={\frac {h\,\lambda }{\varepsilon _{0}}}}$, waarin ${\displaystyle Q_{s}=h\,\lambda }$, de lading is "opgesloten" door de cilinder, en ${\displaystyle \lambda }$ de lading per meter ladingslijn. Er volgt:

${\displaystyle 2\pi hr_{0}\,E={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\Rightarrow E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$