Oppervlakte-integraal

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een oppervlakte-integraal een integraal over een, mogelijk gekromd, oppervlak in de driedimensionale ruimte. Analoog aan het gewone integraalbegrip wordt een oppervlakte-integraal verkregen als het resultaat in een bepaald limietproces van de som van de bijdragen van kleine oppervlakte-elementen waarin het oppervlak is opgedeeld. Er dient onderscheid gemaakt te worden tussen oppervlakte-integralen van een scalair veld en van een vectorveld.

Opsplitsing van het oppervlak waarover wordt geïntegreerd in kleine oppervlakte-elementen

Voor een scalair veld ${\displaystyle f}$ is de bijdrage van een oppervlakte-elementje het product van de grootte ${\displaystyle f(x,y,z)}$ van het veld ter plaatse en de oppervlakte ${\displaystyle \mathrm {d} A}$ van het elementje. De integraal over een oppervlak ${\displaystyle S}$ wordt genoteerd als:

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} A}$

Voor een vectorveld ${\displaystyle {\vec {f}}}$ is de bijdrage van een oppervlakte-elementje het inproduct van het veld ter plaatse ${\displaystyle {\vec {f}}(x,y,z)}$ en een normaalvector ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}}$ van het oppervlakte-elementje met als grootte de oppervlakte van het elementje. De integraal wordt genoteerd als:

${\displaystyle \iint \limits _{S}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$

Oppervlakte-integralen vinden toepassing in de natuurkunde, in het bijzonder in de klassieke theorie van het elektromagnetisme.