Elektrische potentiaal

Een elektrisch veld is conservatief en dus geldt voor de arbeid die wordt geleverd door het veld als een geladen deeltje met lading ${\displaystyle q_{0}}$ van punt ${\displaystyle a}$ naar ${\displaystyle b}$ beweegt:

${\displaystyle W_{a\to b}=U_{a}-U_{b}}$

Hierin is ${\displaystyle U}$ de potentiële energie. Deelt men de arbeid door ${\displaystyle q_{0}}$ dan volgt:

${\displaystyle {\frac {W_{a\to b}}{q_{0}}}={\frac {U_{a}}{q_{0}}}-{\frac {U_{b}}{q_{0}}}=V_{a}-V_{b}}$

waarin ${\displaystyle V_{a}}$ en ${\displaystyle V_{b}}$ respectievelijk de potentialen in de punten ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ zijn. De uitdrukking ${\displaystyle V_{a}-V_{b}}$ is het potentiaalverschil tussen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

Hiermee is ook duidelijk dat het potentiaalverschil eenduidig bepaald is en de potentiaal vastligt op een constante na. Meestal wordt verondersteld dat de potentiaal in het oneindige gelijk is aan 0, waarna ook de potentiaal in elk ander punt eenduidig bepaald is.

De kracht die een elektrisch veld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ uitoefent op een testlading ${\displaystyle q_{0}}$, is ${\displaystyle {\vec {F}}=q_{0}{\vec {E}}}$ en dus wordt de arbeid die geleverd wordt door het elektrisch veld als een testlading van ${\displaystyle a}$ naar ${\displaystyle b}$ beweegt, gegeven door de lijnintegraal:

${\displaystyle W_{a\to b}=\int _{a}^{b}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=q_{0}\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$

Deelt men de bovenstaande uitdrukking door ${\displaystyle q_{0}}$ dan volgt:

${\displaystyle V_{a}-V_{b}={\frac {W_{a\to b}}{q_{0}}}=\int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$

Is de lijnintegraal ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$ positief, dan verricht het elektrisch veld positieve arbeid op een positieve lading als het deeltje van ${\displaystyle a}$ naar ${\displaystyle b}$ beweegt. De potentiële energie neemt in dat geval af en dus is ${\displaystyle V_{a}}$ groter dan ${\displaystyle V_{b}}$. In het algemeen geldt dat een deeltje met positieve lading een kracht ondervindt in de richting van ${\displaystyle {\vec {E}}}$ en een negatief geladen deeltje een kracht in de tegenovergestelde richting van ${\displaystyle {\vec {E}}}$.

Neemt men in de bovenstaande uitdrukking voor het punt ${\displaystyle a}$ een punt in het oneindige met de afspraak dat de potentiaal daar gelijk is aan 0, dan is:

${\displaystyle V_{b}=-\int _{C_{b}}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$,

waarin ${\displaystyle C_{b}}$ een curve is vanuit het oneindige naar het punt ${\displaystyle b}$. Men definieert daarom wel dat de potentiaal in een punt de arbeid is die verricht moet worden om de eenheidslading vanuit het oneindige naar dat punt te brengen.

In een statisch elektrisch veld geldt dat het veld de tegengestelde is van de divergentie van de potentiaal:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla V}$

Het elektrische veld van een puntlading ${\displaystyle q}$ in vacuüm wordt volgens de wet van Coulomb gegeven door:

${\displaystyle E({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}}$

Daarin is ${\displaystyle {\vec {r}}}$ de voerstraal van het beschouwde punt tot de puntlading.

De potentiële energie van een proeflading ${\displaystyle q_{0}}$ in dit veld is:

${\displaystyle U(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{0}\cdot q}{r}}}$

waarin ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ de elektrische veldconstante is en ${\displaystyle r}$ de afstand tussen ${\displaystyle q_{0}}$ en ${\displaystyle q}$. Hieruit volgt voor de elektrische potentiaal:

${\displaystyle V(r)={\frac {U(r)}{q_{0}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}}$

Energie en elektrische lading zijn scalaire grootheden. Dit maakt ook van de elektrische potentiaal een scalar. De eenheid van de elektrische potentiaal volgt direct uit bovenstaande vergelijking: 1 volt = 1 joule/coulomb.

Een continue ladingsverdeling over een oppervlakte of in een volume met ladingsdichtheid ${\displaystyle \rho }$ in vacuüm heeft een elektrische potentiaal:

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (r)}{r}}\mathrm {d} r}$

waarin ${\displaystyle r}$ de afstand is tot het punt waarin ${\displaystyle V}$ berekend wordt.

De potentiaal in vacuüm voldoet aan de poissonvergelijking:

${\displaystyle \Delta V=-\nabla \cdot {\vec {E}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

• elektrische spanning
• elektromagnetisme
• elektrostatica
• potentiële energie
• potentiaal