Supremum

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum (meervoud suprema), afgekort tot sup, van een deelverzameling van een partieel geordende verzameling de kleinste (niet noodzakelijkerwijs in de deelverzameling) van alle bovengrenzen van die deelverzameling. Een bovengrens is een zodanig element dat geen element in de deelverzameling groter is dan die bovengrens. Elk element in de deelverzameling is kleiner dan een bovengrens of eventueel daaraan gelijk. Bijgevolg wordt het supremum ook de kleinste bovengrens (afgekort als kbg of KBG) genoemd. Suprema van verzamelingen van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse.

Een verzameling A van reële getallen (blauwe stippen) en een aantal bovengrenzen daarvan (in rood); de kleinste van deze bovengrenzen, de rode ruit, is het supremum van A.

Het supremum heeft als duaal begrip het infimum.

Definitie

Laat $V$ een partieel geordende verzameling zijn met orderelatie $\leq$ , en $D$ een deelverzameling van $V$ .

Een element $b\in V$ is een bovengrens van $D$ als voor alle $x\in D$ geldt: $x\leq b$ .

Een bovengrens $s$ van $D$ heet supremum van $D$ , genoteerd als $\sup(D)$ , als voor elke bovengrens $b$ van $D$ geldt: $s\leq b$ .

Een supremum is dus een minimaal element (niet te verwarren met kleinste element) van de verzameling bovengrenzen, en wordt wel, enigszins verwarrend, 'kleinste bovengrens' genoemd. Een supremum bestaat niet altijd, bijvoorbeeld niet als $D$ geen enkele bovengrens heeft. Anderzijds kan een verzameling meerdere suprema hebben.

Supremum van een verzameling reële getallen

In de analyse wordt het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling $S$ van de reële getallen aangeduid door $\sup(S)$ en gedefinieerd als de kleinste van alle bovengrenzen van $S$ . Een bovengrens is een getal waarvoor geldt dat elk getal in $S$ kleiner is dan de bovengrens of eraan gelijk is. Als er niet zo'n getal bestaat (omdat $S$ van boven niet begrensd is), definieert men $\sup(S)=\infty$ . Voor de lege verzameling is het supremum gedefinieerd als $\sup(\varnothing )=-\infty$ .

Een belangrijke eigenschap van de reële getallen is dat elke verzameling van reële getallen een supremum heeft (elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de niet-uitgebreide reële getallen).

Voorbeelden zijn:

\sup\{1,2,3\}=3

\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1

\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} ^{+}\}=1

\sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)

Externe link

(en) Supremum (PlanetMath)

Bronvermelding

(en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.