Hardy-ruimte

In complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een Hardy-ruimte (of Hardy-klasse) $H^{p}$ een bepaalde ruimte van holomorfe functies op de eenheidsschijf of het bovenhalfvlak. Hardy-ruimten werden in 1923 geïntroduceerd door Frigyes Riesz, die deze ruimten vernoemde naar G. H. Hardy, vanwege een artikel dat Hardy in 1915 over dit onderwerp had gepubliceerd. In de reële analyse zijn Hardy-ruimten bepaalde ruimten van de distributies op de reële rechte die (in de zin van distributies) grenswaarden zijn van de holomorfe functies van de complexe Hardy-ruimten. Zij zijn gerelateerd aan de $L^{p}$ -ruimten uit de functionaalanalyse.

Voor $1\leq p\leq \infty$ zijn deze reële Hardy-ruimten $H^{p}$ bepaalde deelverzamelingen van $L^{p}$ , terwijl voor $p<1$ de $L^{p}$ -ruimten een aantal ongewenste eigenschappen hebben. Hardy-ruimten gedragen zich veel beter.

Definitie

Zij $\mathbb {T}$ de eendimensionale torus of eenheidcirkel, gemodelleerd als het gesloten interval $[0,2\pi ]$ met de uiteinden geïdentificeerd. Noteer voor elk geheel getal $n\in \mathbb {Z}$ de functie $\chi _{n}(t)=e^{int}$ . Voor $p\geq 1$ is $L^{p}(\mathbb {T} )$ de banachruimte der complexwaardige periodieke functies met periode $2\pi$ waarvan de $p$ -de macht absoluut integreerbaar is; voor $p=\infty$ is $L^{\infty }(\mathbb {T} )$ de ruimte der essentieel begrensde dergelijke functies (zie $L^{p}$ -ruimte).

De Hardy-ruimte $H^{p}$ is de deelvectorruimte van $L^{p}(\mathbb {T} )$ bestaande uit functies waarvan alle fouriercoëfficiënten met negatieve index 0 zijn:[1]

H^{p}=\left\{f\in L^{p}(\mathbb {T} ):\int _{t=0}^{2\pi }f(e^{it})\chi _{n}(t)\mathrm {d} t=0\ {\hbox{voor alle}}\ n>0.\right\}

Deze deelruimte is gesloten in de $L^{p}$ -norm en vormt dus opnieuw een banachruimte. Opgevat als functies op de eenheidscirkel in het complexe vlak, bestaat ze uit functies die kunnen worden uitgebreid worden tot holomorfe functies op de eenheidsschijf in het complexe vlak (de fouriercoëfficiënten zijn de coëfficiënten van de machtreeksontwikkeling rond 0).

Omdat $T$ een eindige lengte heeft, vormen de Hardy-ruimten net als de bovenliggende $L^{p}$ -ruimten een ketting van deelverzamelingen:

H^{\infty }\subset \ldots \subset H^{2}\subset \ldots \subset H^{1}

Bronnen, noten en/of referenties

Hoofdstuk 6 in Douglas, Ronald G., "Banach Algebra Techniques in Operator Theory," Pure and Applied Mathematics 49, Academic Press 1972.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[douglas-1] Hoofdstuk 6 in Douglas, Ronald G., "Banach Algebra Techniques in Operator Theory," Pure and Applied Mathematics 49, Academic Press 1972.