Kaprekargetal

Het natuurlijke getal k heet een Kaprekargetal bij het grondtal ${\displaystyle b\in \mathbb {N} ,b\geq 1}$, als er getallen ${\displaystyle n,m_{1},m_{2}\in \mathbb {N} }$ zijn, met ${\displaystyle n>0,\ 0<m_{2}<b^{n}}$, zo dat:

${\displaystyle k^{2}=m_{1}\cdot b^{n}+m_{2}}$

${\displaystyle k=m_{1}+m_{2}}$

De eerste 39 Kaprekargetallen bij het grondtal 10 zijn:[1]

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

De eerste 9 hiervan controleren:

${\displaystyle 1:\quad 1^{2}=0\cdot 10^{n}+1,\quad 1=0+1}$

${\displaystyle 9:\quad 9^{2}=81;\quad 8+1=9}$

${\displaystyle 45:\quad 45^{2}=2025;\quad 20+25=45}$

${\displaystyle 55:\quad 55^{2}=3025;\quad 30+25=55}$

${\displaystyle 99:\quad 99^{2}=9801;\quad 98+1=99}$

${\displaystyle 297:\quad 297^{2}=88209;\quad 88+209=297}$

${\displaystyle 703:\quad 703^{2}=494209;\quad 494+209=703}$

${\displaystyle 999:\quad 999^{2}=998001;\quad 998+1=999}$

${\displaystyle 2223:\quad 2223^{2}=4941729;\quad 494+1729=2223}$

Zoals te zien is, lijken de getallen ${\displaystyle 99\ldots 9=10^{n}-1}$ allen kaprekargetallen. Dat kan ook bewezen worden. Stel

${\displaystyle k^{2}=10^{n}m_{1}+1=(m_{1}+1)^{2}}$,

dan is

${\displaystyle 10^{n}m_{1}+1=m_{1}^{2}+2m_{1}+1}$,

dus

${\displaystyle m_{1}=10^{n}-2}$

en

${\displaystyle k=m_{1}+1=10^{n}-1}$

Inderdaad is

${\displaystyle 99\ldots 9^{2}=(10^{n}-1)^{2}=10^{2n}-2\cdot 10^{n}+1=99\ldots 9800\ldots 01}$

en

${\displaystyle 99\ldots 9=99\ldots 98+(00\ldots 0)1}$

• Voor 6174, de constante van Kaprekar geldt dat een gegeven rij getallen, gedefinieerd met een serie bewerkingen op die getallen, steeds bij 6174 uitkomt en daarna hetzelfde blijft.