Priemtweeling

Het priemtweelingvermoeden houdt in dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Wiskundigen speculeren hier al honderden jaren over, vooralsnog zonder een bewijs te kunnen vinden. Alphonse de Polignac breidde dit in 1849 uit tot een vermoeden dat elk even hiaat oneindig vaak voorkomt, maar gedurende anderhalve eeuw lukte het niet om het bestaan van enige bounded gap (begrensd hiaat) te bewijzen. In 2005 bewezen Daniel Goldston, János Pintz en Cem Yıldırım, in een artikel dat bekendstaat als GPY, dat er willekeurig kleine hiaten bestaan in verhouding tot de waarde die te verwachten is op grond van de globale verdeling van de priemgetallen.[1][2]

Daarop voortbouwend toonde de Chinese wiskundige Yitang Zhang in april 2013 aan, dat er een hiaat van minder dan 70 miljoen bestaat dat oneindig vaak voorkomt, oftewel dat er een getal ${\displaystyle d}$ kleiner dan 70 miljoen moet zijn, waarvoor geldt dat er oneindig veel paren priemgetallen zijn van de vorm ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle p+d}$. Dit verraste de wiskundigen en leidde tot een enorme activiteit bij getaltheoretici.[2] In juli 2014 werd aangetoond dat er een dergelijk getal ${\displaystyle d}$ moet zijn kleiner of gelijk aan 246.[3] Onder aanname van het vermoeden van Elliott-Halberstam is ${\displaystyle d}$ hoogstens 12 en onder het gegeneraliseerde vermoeden van Elliott-Halberstam is de waarde ten hoogste 6.[4]

De getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle p+2}$ zijn beide priemgetallen dan en slechts dan als ${\displaystyle p+4+4\,(p-1)!}$ deelbaar is door zowel ${\displaystyle p}$ als ${\displaystyle p+2}$. Dit criterium is niet eenvoudig te gebruiken, doordat faculteiten al gauw enorm groot zijn.

Ook al weet men niet of er oneindig veel priemtweelingen zijn, wel weet men dat de som

${\displaystyle B_{2}=\sum _{p{\text{ en }}p+2{\text{ priem}}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}\right)}$

convergeert. Dit terwijl

${\displaystyle \sum _{p{\text{ priem}}}{\frac {1}{p}}}$

divergeert (niet convergeert).

Het getal ${\displaystyle B_{2}}$ wordt de constante van Brun genoemd.[5]

Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden. Met 58 711 cijfers is dit 2,5 jaar lang de grootste bekende priemtweeling geweest:

2 003 663 613 × 2^{195 000} – 1 en 2 003 663 613 × 2^{195 000} + 1.

Een volgend record werd gevestigd op 25 juli 2009, dit door de gebruikers van een project met de naam PrimeGrid. Het heeft 100 355 cijfers

65 516 468 355 × 2^{333 333} – 1 en 65 516 468 355 × 2^{333 333} + 1.

Op 25 december 2011 is er nog een grotere priemtweeling gevonden door PrimeGrid. Het gaat om de 200 700 cijfers tellende getallen:

3 756 801 695 685 × 2^{666 669} – 1 en 3 756 801 695 685 × 2^{666 669} + 1.

In september 2016 is er door de Amerikaan Tom Greer een nieuwe combinatie ontdekt (beide priemgetallen tellen elk 388.342 cijfers):

2.996.863.034.895 × 2^1.290.000 – 1 en 2.996.863.034.895 × 2^1.290.000 + 1.[6]

De eerste priemtweelingen zijn:

• 3, 5
• 5, 7
• 11, 13
• 17, 19
• 29, 31
• 41, 43
• 59, 61
• 71, 73
• 101, 103
• 107, 109

Priemdrielingen – drie opeenvolgende priemgetallen met alleen even getallen er tussen – laat staan priem-vierlingen, bestaan niet (met uitzondering van het drietal 3-5-7). Een willekeurig rijtje van drie opeenvolgende oneven getallen zal immers altijd één (maar ook nooit meer dan één) veelvoud van 3 bevatten. Een priemtweeling wordt (met uitzondering van de tweeling 3-5) zodoende altijd voorafgegaan en gevolgd door een oneven getal dat door 3 deelbaar is.

De som van de twee getallen van een priemtweeling is (met uitzondering van de tweeling 3-5) altijd deelbaar door 12; immers uit de eigenschappen van de rij veelvouden van 3 volgt dat behalve het voorafgaande en het volgende oneven getal, ook het getal tussen de twee priemtweelinggetallen een veelvoud van 3 is, en tevens een even getal, dus altijd deelbaar moet zijn door 6. De som is twee maal dit gemiddelde, dus deelbaar door 12.

• De eenzaamheid van de priemgetallen (2008) Paolo Giordano

• (en) Top Twenty Twin Primes