Mersennepriemgetal

Tabel van het vermoeden van Mersenne: ${\displaystyle n\leq 263}$

P: ${\displaystyle M_{n}}$ is priem —: ${\displaystyle M_{n}}$ is samengesteld Mersenne had gelijk. Hij had het fout.
${\displaystyle n}$	2	3	5	7	11	13	17	19
${\displaystyle M_{n}}$	P	P	P	P	—	P	P	P
${\displaystyle n}$	23	29	31	37	41	43	47	53
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	P	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	59	61	67	71	73	79	83	89
${\displaystyle M_{n}}$	—	P	—	—	—	—	—	P
${\displaystyle n}$	97	101	103	107	109	113	127	131
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	P	—	—	P	—
${\displaystyle n}$	137	139	149	151	157	163	167	173
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	179	181	191	193	197	199	211	223
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—
${\displaystyle n}$	227	229	233	239	241	251	257	263
${\displaystyle M_{n}}$	—	—	—	—	—	—	—	—

Mersenne claimde in 1644 dat ${\displaystyle p=M_{n}}$ priem is als ${\displaystyle n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257}$; maar dat ${\displaystyle p}$ een samengesteld getal is wanneer ${\displaystyle n}$ een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. ${\displaystyle M_{67}}$ en ${\displaystyle M_{257}}$ zijn geen priemgetallen, terwijl ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ en ${\displaystyle M_{107}}$ dit juist wel zijn.

Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden.[1]

Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden.

Het grootst bekende priemgetal is in december 2018 gevonden: het is 2^{82 589 933}−1. Het was het 51e mersennepriemgetal dat is gevonden. [2][3]

Poststempel van ongeveer 1964 tot 1976 gebruikt door het wiskundedepartement van het UIUC, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen in 1963 door D Gillies ontdekt

Wanneer ${\displaystyle M_{n}}$ een mersennepriemgetal is, is de exponent ${\displaystyle n}$ zelf ook een priemgetal is. Dit volgt uit:

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\ldots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\ldots +2^{(a-1)b}\right)\end{aligned}}}$

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

${\displaystyle M_{2}=3,\ M_{3}=7,\ M_{5}=31}$

Hoewel het waar is dat alleen mersennegetallen ${\displaystyle M_{p}}$ priem kunnen zijn als ${\displaystyle p}$ ook een priemgetal is, kan het niettemin het geval zijn dat ${\displaystyle M_{p}}$ geen priemgetal is, terwijl ${\displaystyle p}$ dat wel is. Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

${\displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89}$

${\displaystyle M_{11}}$ is geen priemgetal, hoewel 11 dit wel is. Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Er geldt namelijk dat als ${\displaystyle 2^{n}-1}$ een priemgetal is, dat dan ${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)}$ een perfect getal is. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als ${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)}$ waarbij ${\displaystyle n}$ een priemgetal is en ${\displaystyle 2^{n}-1}$ een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor ${\displaystyle n=3}$ geldt dat ${\displaystyle 2^{n}-1=7}$ een priemgetal is, en ${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)=2^{2}\cdot (2^{3}-1)=4\times 7=28}$ een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

Er zijn op dit moment 51 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in december 2018 gevonden.