Evenwichtig priemgetal

De eerste evenwichtige priemgetallen zijn:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, … [1]

Er is een vermoeden, maar dit is nog niet bewezen, dat er oneindig veel evenwichtige priemgetallen bestaan.

Drie zulke opeenvolgende priemgetallen met gelijke afstand worden soms aangeduid als "CPAP-3".[2] Een evenwichtig priemgetal is per definitie het middelste getal in een CPAP-3. Per 2014 heeft het grootste bekende CPAP-3 getal 10546 cijfers – het is gevonden door David Broadhurst. Het is:[3]

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430}$

De waarde van de index n (volgnummer van het priemgetal) is onbekend.

De evenwichtige priemgetallen kunnen worden gegeneraliseerd tot de "evenwichtige priemgetallen van de n^e orde". Een evenwichtig priemgetal van de n^e orde is een priemgetal ${\displaystyle p_{k}}$ dat gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de n naastlagere plus de n naasthogere priemgetallen:

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}}$

Derhalve is een "gewoon" evenwichtig priemgetal een gegeneraliseerd evenwichtig priemgetal van de 1^e orde. Het kleinste evenwichtig priemgetal van de 2^e orde is 79 (het 22^e priemgetal); 79 is het gemiddelde van ${\displaystyle p_{20}}$ (71), ${\displaystyle p_{21}}$ (73), ${\displaystyle p_{23}}$ (83) en ${\displaystyle p_{24}}$ (89): ${\displaystyle (71+73+83+89)/4=316/4=79}$.[4] Er zijn ook reeksen gedocumenteerd van evenwichtige priemgetallen van de 3^e orde[5] en die van de 4^e orde.[6]