Potentiaal

Bij centrale krachten is het veld van een krachtbron overal naar of vanaf die krachtbron gericht. Voorbeelden zijn het zwaartekrachtsveld van een bolsymmetrische massaverdeling (steeds naar het middelpunt van bijvoorbeeld de aarde gericht) en het elektrische veld (het veld van een atoomkern is steeds van die kern af gericht). De potentiaal van zo'n veld is een scalair: op iedere plaats ${\displaystyle {\vec {r}}}$ is er een getal ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ en dat is de potentiaal ter plaatse. Je kunt ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ opvatten als de potentiële energie die een eenheid massa of elektrisch lading (afhankelijk van om welk veld het gaat) ter plaatse heeft (bijvoorbeeld de zwaarte-energie van een voorwerp van 1 kilogram).

Het veld ${\displaystyle {\vec {Y}}({\vec {r}})}$ is dan de gradiënt van de potentiaal ${\displaystyle V({\vec {r}})}$:

${\displaystyle {\vec {Y}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} V({\vec {r}})}$

De potentiaal ${\displaystyle V}$ neemt dus af in de richting van het veld. Zo is de potentiaal van de zwaartekracht van de aarde het laagst in het middelpunt van de aarde en het hoogst 'oneindig' ver weg van de aarde. Hoe hoog dat precies is, kan vrij gekozen worden: als ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ overal met hetzelfde bedrag verhoogd wordt, verandert er niets aan ${\displaystyle {\vec {Y}}({\vec {r}})}$; dit heet ijkvrijheid. Meestal kiest men die verhoging zo, dat de potentiaal oneindig ver weg gelijk is aan 0. Met die keuze komen de potentialen er als volgt uit te zien.

Het veld veroorzaakt door een elektrische lading ${\displaystyle Q}$ is gericht naar of vanaf de lading. De grootte is afhankelijk van de afstand ${\displaystyle r}$ tot de lading. De grootte van het veld ${\displaystyle E(r)}$ is:

${\displaystyle E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}},}$

waarin de ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ de permitiviteit van het vacuüm is: ${\displaystyle \varepsilon _{0}=8{,}85\times 10^{-12}}$ F/m.

De Coulombpotentiaal of elektrische potentiaal is

${\displaystyle V(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$,

dus 0 in het oneindige en elders positief als ${\displaystyle Q>0}$ en negatief als ${\displaystyle Q<0}$. Overigens heeft een zeer groot, geleidend lichaam zoals de aarde in deze definitie ook potentiaal 0. Wanneer we een punt in een elektrische schakeling "aarden", zorgen we dus dat dat punt potentiaal 0 krijgt.

Het zwaartekrachtsveld veroorzaakt door een massa ${\displaystyle m}$ is naar die massa toe gericht. De grootte is afhankelijk van de afstand ${\displaystyle r}$ tot de massa. De grootte van het veld ${\displaystyle g(r)}$ is:

${\displaystyle g(r)={\frac {G\,m}{r^{2}}}}$,

waarin ${\displaystyle G}$ de gravitatieconstante is: ${\displaystyle G=6{,}67\times 10^{-11}}$ N m²/kg². De zwaartekrachtspotentiaal is

${\displaystyle V(r)=-{\frac {G\,m}{r}}}$,

dus 0 in het oneindige en elders negatief. Overigens gelden deze formules alleen in de klassieke mechanica, met de zwaartekrachtswet van Newton. In de algemene relativiteitstheorie ligt het iets anders, er is geen sprake van een vectorveld maar het 'gravitatieveld' wordt beschreven door een tensor.

Binnen een klein gebied varieert de zwaartekrachtspotentiaal bij benadering lineair. Zo kun je de potentiaal vlak bij het aardoppervlak benaderen door

${\displaystyle V(h)\approx g\cdot h}$

waarin ${\displaystyle g}$ het zwaartekrachtsveld of de valversnelling is, en ${\displaystyle h}$ de hoogte boven het aardoppervlak (en waarbij gekozen is het nulniveau van de potentiaal op het aardoppervlak te leggen, wat kan vanwege de ijkvrijheid).

In de beginjaren van de kernfysica was er nog geen kwantumchromodynamica (QCD), de theorie van de quarks en gluonen. Protonen en neutronen waren de bekende kerndeeltjes. Yukawa had een theorie over de aantrekking tussen deze deeltjes. Het veld van die sterke kernkracht werd beschreven met door de Yukawa-potentiaal:

${\displaystyle V(r)=V_{0}{\frac {e^{-\mu r}}{\mu r}}}$,

waarin ${\displaystyle V_{0}}$ een (negatieve) constante is en ${\displaystyle 1/\mu }$ het bereik van de interactie (${\displaystyle \mu }$ hangt samen met de massa van het π-meson of pion, dat de Yukawa-kracht overbrengt). Door de extra exponentiële factor neemt zowel deze potentiaal als het ervan afgeleide veld snel af wanneer de afstand groter wordt. Buiten de atoomkern is dan ook weinig te merken van de sterke kernkracht.

Niet-centrale krachten lenen zich in het algemeen niet voor beschrijving met een scalarpotentiaal. Als voorbeeld hier de potentiaal behorend bij een magnetisch veld.

Een magnetisch veld ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})}$ is niet altijd in de richting van de bron (de magneet) gericht. We kunnen het beschrijven met een vectorpotentiaal ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$. Deze potentiaal heeft overal de vorm van een vector, dus niet alleen een grootte maar ook een richting. De relatie tussen de twee is nu:

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})=\operatorname {rot} {\vec {A}}({\vec {r}})}$

Het veld is in dit geval de rotatie van de potentiaal. Ook hier is er een ijkvrijheid: tot op zekere hoogte is ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$ te veranderen zonder dat het invloed heeft op de fysische situatie die beschreven wordt. In dit geval mag je bij ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$ ieder vectorveld optellen dat zelf de gradiënt van een scalair veld ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})}$ is:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})\to {\vec {A}}({\vec {r}})+\operatorname {grad} \varphi ({\vec {r}})}$

Deze ijktransformatie laat ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})}$ onveranderd en de veranderde potentiaal geeft dus nog dezelfde fysische situatie weer.