Lineariteit

Als tussen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ een relatie bestaat die recht evenredig is, dan betekent dit dat als ${\displaystyle A\ x}$ maal zo groot wordt, ook ${\displaystyle B\ x}$ maal zo groot wordt.

Bijvoorbeeld: als een fietser met een constante snelheid rijdt, bestaat er een recht evenredige relatie tussen de afstand die de fietser aflegt en de tijd. Rijdt de fietser met een snelheid van 5 meter per seconde, dan zal die fietser in 10 seconden 50 meter afleggen. Zou deze relatie in een grafiek worden weergegeven, dan zal dit een rechte lijn weergeven. Aan de hand van die grafiek kan worden nagegaan hoever de fietser was na 5 seconden (interpoleren), of voorspellen hoeveel meter de fietser zal afleggen in bijvoorbeeld 20 seconden (extrapoleren).

Een functie ${\displaystyle f(x)}$ is lineair als ze aan de volgende twee eigenschappen voldoet:

• additiviteit: voor alle ${\displaystyle x,y}$ is ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$
• homogeniteit: ${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)=}$ voor alle ${\displaystyle \alpha }$

Ook een wiskundige operator kan lineair zijn, zo zijn de afgeleide en integraal lineair:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}(a\cdot f(x)+g(x))=a{\frac {{\rm {d}}f(x)}{{\rm {d}}x}}+{\frac {{\rm {d}}g(x)}{{\rm {d}}x}}}$

${\displaystyle \int (a\cdot f(x)+g(x))=a\int f(x)+\int g(x)}$

Verder is een stelsel van lineaire vergelijkingen een serie wiskundige vergelijkingen van de volgende vorm:

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=y_{1}}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=y_{2}}$

${\displaystyle \qquad \vdots }$

${\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=y_{n}}$

In de meet- en regeltechniek, signaalbewerking en systeemanalyse heeft het als bijzondere betekenis een eigenschap van een systeem:

Als oorzaak ${\displaystyle u}$ het gevolg ${\displaystyle U}$ heeft en oorzaak ${\displaystyle v}$ het gevolg ${\displaystyle V}$, dan geldt dat oorzaak ${\displaystyle u+v}$ het gevolg ${\displaystyle U+V}$ heeft (superpositiebeginsel).

Alle andere soorten systemen heten dan niet-lineair.