Vectorveld

Een vectorveld is in de vectoranalyse een afbeelding die aan elk punt in een Euclidische ruimte een vector koppelt. Men spreekt wel van gebonden vectoren, met aangrijpingspunt.

Voorbeeld van een vectorveld in 2D:[-y,x

]

In de natuurkunde worden vectorvelden bijvoorbeeld gebruikt voor het beschrijven van de stroming van een vloeistof door van elk punt in de stroming de snelheid in grootte en richting te geven of van een magnetisch veld of zwaartekrachtsveld door in elk punt de grootte en de richting waarin de kracht werkt te geven.

Definitie

Een vectorveld ${\vec {F}}$ is een afbeelding die aan elk punt van een vectorruimte een vector uit die ruimte toekent.

in de driedimensionale ruimte:

{\vec {F}}(x,y,z)=\left(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)\right)

in de n-dimensionale Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ :

{\vec {F}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\left(F_{1}(x_{1},...,x_{n}),F_{2}(x_{1},...,x_{n}),...,F_{n}(x_{1},...,x_{n})\right)

.

Voorbeelden

Windrichting

Bekijken we de verdeling van de windsnelheid in de atmosfeer, dan heerst op ieder punt een bepaalde windrichting en windsnelheid. Deze verdeling is dus een vectorveld van aan punten $(x,y,z)$ in de atmosfeer gekoppelde snelheidsvectoren

{\vec {v}}(x,y,z)=\left(v_{x}(x,y,z),v_{y}(x,y,z),v_{z}(x,y,z)\right)

.

Waait de wind alleen in één richting, zeg de x-richting, zoals bij benadering in een windtunnel, dan is het vectorveld van de vorm $(v_{x},0,0)$

Zwaartekracht

Op ieder punt van de ruimte geldt een bepaald zwaartekrachtsveld, gegeven door de richting van de zwaartekracht (simpel gesteld naar beneden) en een grootte (de bekende veldsterkte $g$ ).

Het vectorveld wordt dan: $(0,0,-g)$ . Alle krachten hebben in de natuurkunde een veld, dat in veel gevallen een vectorveld is.

Bewerkingen

Integreren

Het integreren van een vectorveld wordt gebruikt in de wetten van Maxwell, daarbij integreert men over een volume, of over het oppervlak van een volume.

Differentiëren

Om de verschillende afgeleiden te beschrijven, maakt men vaak gebruik van de nabla-operator.

De richtingsafgeleiden van een scalair veld $\phi$ vormen een vectorveld, de gradiënt van het veld:

\mathrm {grad} \;\phi =\nabla \phi =\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)

Om de putten en bronnen van een vectorveld φ aan te geven berekent men de divergentie $\nabla \cdot \phi$ van het veld (de divergentie is een scalair):

\mathrm {div} \;\phi =\nabla \cdot \phi ={\frac {\partial \phi _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \phi _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \phi _{z}}{\partial z}}

Of een veld wervelingen kent, wordt bepaald door de rotatie of rotor $\nabla \times \phi$ van het veld:

\mathrm {rot} \;\phi =\nabla \times \phi =\left({\frac {\partial \phi _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \phi _{y}}{\partial z}},{\frac {\partial \phi _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \phi _{z}}{\partial x}},{\frac {\partial \phi _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \phi _{x}}{\partial y}}\right)

Belangrijk op te merken is, dat de uitgeschreven vorm enkel in een cartesiaans coördinatenstelsel geldt, in een cilindrisch assenstelsel is de vorm anders. Zie daartoe Nabla in verschillende assenstelsels.

Gekromde ruimten

Ook in willekeurige gekromde ruimten, in variëteiten, kunnen we een betekenis geven aan gebonden vectoren.

De differentiaalmeetkunde associeert met elk punt $p$ van een gladde variëteit $M$ een vectorruimte $T_{p}M,$ raakruimte genaamd. De vereniging van alle raakruimten is de raakbundel $TM,$ en een vectorveld is een sectie van de raakbundel, dat is een gladde afbeelding van $M$ naar $TM$ die elk punt $p$ op een vector in $T_{p}M$ afbeeldt.

De differentiaaloperatoren gradiënt, divergentie en rotatie worden bewerkingen in de uitwendige algebra der differentiaalvormen van een willekeurige gladde variëteit. Om echter te behouden dat de gradiënt een operatie van scalairen naar vectorvelden is en de divergentie een bewerking van vectorvelden naar scalairen, hebben we de aanvullende structuur van een metrische tensor, de Riemann-variëteit, nodig.

De rotatie, zoals hierboven gedefinieerd, is bovendien afhankelijk van het feit dat we in een driedimensionale oriënteerbare ruimte werkten. In het algemeen, met $n$ dimensies en geen oriëntatie, beschouwen we de operator $\operatorname {d}$ in de uitwendige algebra.

Nog algemener kan een vectorveld een sectie zijn van eender welke gegeven vectorbundel over de beschouwde ruimte.

Zie ook

Zie de categorie Vector fields van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.