Potentiaalverschil

Het elektrische potentiaalverschil wordt gedefinieerd als de arbeid die het elektrisch veld verricht om een positieve eenheidslading van punt ${\displaystyle B}$ naar ${\displaystyle A}$ te bewegen.[1]

De lijnintegraal van de elektrische veldsterkte is onafhankelijk van zijn baan, en kan worden uitgedrukt als een scalaire functie ${\displaystyle V_{BA}}$ die eenduidig bepaald is door het vastgelegde begin- en eindpunt (${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$). Dan is volgens deze definitie:

${\displaystyle V_{BA}=\int _{B}^{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$

Hierbij kan worden waargenomen dat de veldsterkte de uitgeoefende kracht per ladingseenheid is. Waardoor ${\displaystyle V_{BA}}$ de arbeid moet zijn die verricht wordt door het veld om een ladingseenheid te verplaatsen in de ruimte.

Als een van de punten, ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle B}$, als een vast referentiepunt wordt gekozen, wordt de functie ${\displaystyle V_{BA}}$ een functie die alleen afhankelijk is van de coördinaten van het punt ${\displaystyle B}$. Dus er geldt ${\displaystyle V_{BA}=V(x,y,z)}$. Deze functie wordt de potentiaal van het elektrische vectorveld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ genoemd, en is zelf een scalaire functie uitgedrukt in de SI-eenheid volt (V).

Over het algemeen wordt, als het systeem bestaat uit puntladingen, het referentiepunt ${\displaystyle A}$ in oneindig gekozen (vast). Hierdoor wordt de afstand van de puntlading tot ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle r_{A}=\infty }$, waardoor we de volgende formule kunnen opmaken voor de potentiaal van die puntlading[2]:

${\displaystyle V(x,y,z)=-\int _{\infty }^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{r_{A}=\infty }^{r_{B}=r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=}$

${\displaystyle =-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\infty }})}$

${\displaystyle ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}$

Hierin is ${\displaystyle r}$ de voerstraal tussen de puntlading ${\displaystyle q}$ en het punt ${\displaystyle B=(x,y,z)}$.

Voor een aantal verschillende puntladingen ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ is de elektrische potentiaal de totale som van de afzonderlijke potentialen.

${\displaystyle V={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{1}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{2}}}+\ldots +{\frac {q_{n}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}}$

Als de ladingen continu verdeeld zijn, met ladingsdichtheid ${\displaystyle \rho }$, wordt de sommatie een integraal die zich uitstrekt over de volledige ruimte waarin de lading ligt.

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \rho ({\vec {r}}){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{r}}}$

Een potentiaalvlak is een oppervlak waarvan elk punt dezelfde potentiaal heeft.

Een eigenschap van potentiaalvlakken is dat de veldsterkte altijd loodrecht op het potentiaalvlak staat. Dat wil zeggen dat de elektrische veldlijnen dus ook altijd loodrecht op een potentiaalvlak staan.

Voorbeeld

De potentiaalvlakken om een puntlading in de ruimte zijn de bollen met de lading als middelpunt.