Gradiënt (wiskunde)

Onder de gradiënt van een reële functie ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle n}$ reële veranderlijken ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ in een punt ${\displaystyle a}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ verstaat men de vector ${\displaystyle \mathrm {grad} \ f}$ met als componenten de partiële afgeleiden van ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$, dus:

${\displaystyle \mathrm {grad} \ f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$

Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator nabla:

${\displaystyle \mathrm {grad} \ f=\nabla f}$

Als deze partiële afgeleiden in (een open deelverzameling van) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bestaan, bepaalt de gradiënt van ${\displaystyle f}$ een vectorveld.

Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van ${\displaystyle f}$ (zie differentieerbaarheid).

Voor de driedimensionale functie ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ is dus:

${\displaystyle \mathrm {grad} f=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

Stel dat ${\displaystyle f}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{6}-y-xz}$,

dan wordt de gradiënt van ${\displaystyle f}$ gegeven door:

${\displaystyle \nabla f=(6x^{5}-z,-1,-x)}$,

wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.

Met elke (georiënteerde) richting van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ komt een richtingsafgeleide van ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ overeen. Als ${\displaystyle f}$ differentieerbaar is in ${\displaystyle a}$, dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.

Op een algemene gladde variëteit noteert men ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van ${\displaystyle f}$ in dat coördinatenstelsel.

Op een riemann-variëteit levert de metrische tensor ${\displaystyle g}$ een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat:

${\displaystyle g(\nabla f,v)=(\mathrm {d} f)(v)=\sum _{i}{\partial f \over \partial x^{i}}v^{i}}$