Kettingbreuk

In de wiskunde is een kettingbreuk een uitdrukking van de vorm:

a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}

,

waarin $a_{0}$ een willekeurig geheel getal is en alle overige getallen $a_{i}$ en $b_{j}$ positieve gehele getallen zijn.

Een enkelvoudige of reguliere kettingbreuk is een uitdrukking van de vorm

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}

,

dus een kettingbreuk waarin alle $b_{j}=1$ zijn.

Reguliere kettingbreuken, inclusief de eindige niet eindigend met een noemer 1 (dat wil zeggen kettingbreuken in kanonieke vorm), vormen een eenduidige voorstelling van de reële getallen.

Voorbeelden

Het eenvoudigste voorbeeld van een oneindige kettingbreuk is die voor het gulden getal $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618$ :

\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\,\cdots }}}}}}

Een ander voorbeeld is de uitdrukking voor de boogtangensfunctie:

\arctan(z)={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {9z^{2}}{7+{\cfrac {16z^{2}}{9+{\cfrac {25z^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}

Notatie

Een kettingbreuk in kanonieke vorm is geheel bepaald door de getallen $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ Er zijn verscheidene notaties bedacht om kettingbreuken eenvoudiger te noteren dan op de omslachtige manier als een echte breuk. Oskar Perron introduceerde in zijn boek „Die Lehre von den Kettenbrüchen“ de volgende veel gebruikte notatie:

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]

In deze notatie wordt de gulden snede $\varphi =[1;1,1,1,\dots ]$ .

Een andere notatie, van de hand van Pringsheim, is:

a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}+\dots

Verwant daarmee is:

a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+}{1 \over a_{3}+}\dots

Bijbehorende notaties voor eindige kettingbreuken zijn van de volgende vorm (met letterlijk "..." of uitgeschreven):

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]

a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}+\dots +{\frac {1\mid }{\mid a_{n}}}

a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+}{1 \over a_{3}+}\dots {1 \over a_{n-1}+}{1 \over a_{n}}

Theorie

Reële getallen kunnen eenduidig geschreven worden als kettingbreuken in kanonieke vorm, gegeven door een al dan niet eindige rij gehele getallen $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ , waarvan alle termen, behalve eventueel $a_{0}$ , groter dan of gelijk aan 1 zijn. Rationale getallen hebben een eindige voorstelling: $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]$ met $a_{n}\geq 2$ en irrationale getallen een oneindige: $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]$ .

De indeling in getallen met oneindige en eindige representatie is daarmee fundamenteler dan bij een schrijfwijze met een geheel getal, een komma en cijfers achter de komma, waar die indeling van het grondtal afhangt. Bij een kettingbreuk zijn ook de getallen in de representatie (los van hun eigen schrijfwijze) onafhankelijk van een grondtal.

De gedachte achter de kettingbreuk is dat een reëel getal de som is van een geheel getal en een reëel getal van 0 of meer, maar kleiner dan 1. Als dit deel niet 0 is kan het geschreven worden als 1 gedeeld door een reëel getal groter dan 1. Voor dit laatste getal geldt weer hetzelfde. Enzovoort. Zo ontstaat een kettingbreuk. Er geldt dus

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+1/[a_{1};a_{2},a_{3},\dots ]

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}]=a_{0}+1/[a_{1};a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}],\ n\geq 1

[a_{0};]=a_{0}

Als voorbeeld bepalen we de kettingbreuk van 0,345. Daartoe berekenen we:

0{,}345=0+{\frac {345}{1000}}

{\frac {1000}{345}}=2+{\frac {310}{345}}

{\frac {345}{310}}=1+{\frac {35}{310}}

{\frac {310}{35}}=8+{\frac {30}{35}}

{\frac {35}{30}}=1+{\frac {5}{30}}

{\frac {30}{5}}=6

Dus 0,345 = [0;2,1,8,1,6]

De berekening komt overeen met het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler. De berekening kan overzichtelijk als volgt kort opgeschreven worden:

In dit proces worden de getallen in de linkerkolom het langzaamst kleiner (en wordt dus de kettingbreuk het langst) als in de rechterkolom steeds lage getallen, en vooral enen, staan. Dit is het geval bij breuken in de buurt van $\varphi$ , en dus ook bijvoorbeeld bij $\varphi -1.$ De getallen in de linkerkolom worden dan steeds gedeeld door ongeveer $\varphi .$ Iedere factor 10 in de orde van grootte van de noemer van de breuk kan dan 5 extra niveaus vergen. De kettingbreuk voor het getal 0,62 heeft bijvoorbeeld 8 niveaus, zie de numeriek gesorteerde lijst met voorbeelden.

Een algemeen rekenschema voor willekeurige reële getallen is analoog aan het algoritme van Euclides:

getal 1/fractie			geheel deel	fractie
0,345			0	0,345
1/0,345	=	2,898550725	2	0,898550725
1/0,898550725	=	1,112903226	1	0,112903226
1/0,112903226	=	8,857142857	8	0,857142857
1/0,857142857	=	1,166666667	1	0,166666667
1/0,166666667	=	6	6	0

Grootte-ordening

De gewone orde van getallen correspondeert met de lexicografische orde van de rijtjes $a$ 's, met op de oneven posities een omgekeerde orde en met een blanco (de posities na een eindig rijtje) gerekend als oneindig. Het is dus gemakkelijk kettingbreuken te sorteren op de grootte van de uitkomsten, zonder die te bepalen.

Voorbeelden tussen 0 en 1 (waaronder alle breuken met noemer t/m 10) in stijgende volgorde:

[0;]                                   = 0
[0;10]                                 = 0,1
[0; 9;11]                              = 0,11
[0; 9]                                  $\approx$  0,1111
[0; 8, 3]                              = 0,12
[0; 8]                                 = 0,125
[0; 7, 1, 2, 4]                        = 0,13
[0; 7, 7]                              = 0,14
[0; 7,15, 1,292, 1, ..]                 $\approx$  0,1416 (π-3)
[0; 7]                                  $\approx$  0,1429
[0; 6, 1, 2]                           = 0,15
[0; 6, 4]                              = 0,16
[0; 6]                                  $\approx$  0,1667
[0; 5, 1, 7, 2]                        = 0,17
[0; 5, 1, 1, 4]                        = 0,18
[0; 5, 3, 1, 4]                        = 0,19
[0; 5]                                 = 0,2
[0; 4, 2]                               $\approx$  0,2222
[0; 4]                                 = 0,25
[0; 3, 2]                               $\approx$  0,2857
[0; 3, 3]                              = 0,3
[0; 3]                                  $\approx$  0,3333
[0; 2, 1, 8,  1, 6]                    = 0,345
[0; 2, 1, 2]                           = 0,375
[0; 2, 2]                              = 0,4
[0; 2, 2, 3, 1, 1, 2]                  = 0,41
[0; 2, 3]                               $\approx$  0,4286
[0; 2, 3, 14]                          = 0,43
[0; 2, 4]                               $\approx$  0,4444
[0; 2]                                 = 0,5
[0; 1, 1, 4]                            $\approx$  0,5556
[0; 1, 1, 3]                            $\approx$  0,5714
[0; 1, 1, 2]                           = 0,6
[0; 1, 1, 1,  1, 3, 2, 2]              = 0,61
[0; 1, 1, 1,  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5]  = 0,618
[0; 1, 1, 1,  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,.] $\approx$  0,6180 (φ-1)
[0; 1, 1, 1,  1, 1, 2, 2]              = 0,62
[0; 1, 1, 1,  2]                       = 0,625
[0; 1, 2]                               $\approx$  0,6667
[0; 1, 2, 3]                           = 0,7
[0; 1, 2, 2]                            $\approx$  0,7143
[0; 1, 2, 1,  1, 4,..]                  $\approx$  0,7183 (e-2)
[0; 1, 3]                              = 0,75
[0; 1, 3, 2]                            $\approx$  0,7778
[0; 1, 4]                              = 0,8
[0; 1, 5]                               $\approx$  0,8333
[0; 1, 6]                               $\approx$  0,8571
[0; 1, 7]                              = 0,875
[0; 1, 8]                               $\approx$  0,8889
[0; 1, 9]                              = 0,9
[1;]                                   = 1

Convergenten

Als we een eindige kettingbreuk voor het einde afbreken, of een oneindige kettingbreuk afbreken (een bovengenoemd reëel getal naar beneden afronden op een geheel getal) vormt de zo ontstane kettingbreuk een benadering van de gehele kettingbreuk. Men noemt zo'n eindig deel een convergent; de $n$ -de convergent is de (ketting)breuk:

[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]

.

Een convergent is een rationaal getal, omdat het een eindige kettingbreuk is.

De successievelijke convergenten vormen een rij breuken die steeds beter de kettingbreuk benaderen. De convergenten (op de eventuele laatste na) met even rangnummer zijn kleiner dan de kettingbreuk en die met oneven rangnummer groter. (N.B.: Als kettingbreuken die eindigen met een noemer 1 worden herschreven in kanonieke vorm en dus één niveau korter worden, is aan een eindresultaat niet te zien of het rangnummer van de convergent even of oneven is).

Voor het gulden getal:

\varphi =[1;1,1,1,\dots ]

,

zijn de eerste convergenten:

[1]=1

[1;1]=2

[1;1,1]={\frac {3}{2}}=1{,}5

[1;1,1,1]={\frac {5}{3}}\approx 1{,}67

[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5}}=1{,}6

De opeenvolgende tellers en noemers hiervan zijn de getallen van Fibonacci.

Een convergent is een breuk, en wel is voor $n=0,1,2,\ldots$ de $n$ -de convergent van de vorm:

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}

die berekend kan worden met de recurrente betrekkingen:

p_{n}=a_{n}\cdot p_{n-1}+p_{n-2}

q_{n}=a_{n}\cdot q_{n-1}+q_{n-2}

Daarbij gelden als startwaarden:

p_{-2}=0,\ p_{-1}=1,\ q_{-2}=1,\ q_{-1}=0

.

Beste benaderingen van de eerste en tweede soort

In dit verband wordt een (niet te vereenvoudigen) breuk (met positieve noemer) als benadering van een reëel getal een beste benadering van de eerste soort genoemd als de absolute waarde van de afwijking kleiner is dan bij elke andere breuk met een kleinere of gelijke (positieve) noemer, en een beste benadering van de tweede soort als zelfs de absolute waarde van de afwijking vermenigvuldigd met de noemer kleiner is dan bij elke andere breuk met een kleinere of gelijke (positieve) noemer. Dit laatste is een sterkere eigenschap.

De convergenten van een reëel getal die geen geheel getal zijn vormen de beste benaderingen van de tweede soort die geen geheel getal zijn.[1]

Er kunnen buiten de convergenten wel meer beste benaderingen van de eerste soort zijn. Dit geldt in ieder geval als de laatste noemer van de kettingbreuk van een convergent wordt verlaagd tot een waarde die meer dan de helft van de oorspronkelijke is (dit geeft bijvoorbeeld 2/3 = [0;1,2] als benadering voor 3/4 = [0;1,3]), en soms ook als deze wordt gehalveerd (bijvoorbeeld 1/2 = [0;2] = [0;1,1] als benadering voor 7/10 = [0;1,2,3]).

Voor een voorbeeld zie benaderingen van wortel 2.

Eindige kettingbreuken

De uitgeschreven notatie van de kanonieke vorm een eindige kettingbreuk is van de vorm:

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+_{\ddots {\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}

,

waarin $a_{n}\neq 1$ .

Een eindige kettingbreuk is vanzelfsprekend een rationaal getal, maar omgekeerd laat ook elk rationaal getal zich schrijven als eindige kettingbreuk. Dat kan men als volgt inzien (voor het gemak kiezen we $a_{0}=0$ ) en bekijken de breuk $a/b$ met $a<b.$ Door delen vinden we:

b=qa+r

met $r<a$ . Dus is:

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{\frac {b}{a}}}={\frac {1}{q+{\frac {r}{a}}}}

Daarin komt de breuk $r/a$ voor, waarvoor we dezelfde procedure kunnen hanteren als voor $a/b.$ De hele procedure is eindig, omdat steeds de volgende noemers kleiner zijn dan de vorige. Als voorbeeld:

{\frac {3}{8}}={\frac {1}{\tfrac {8}{3}}}={\cfrac {1}{2+{\tfrac {2}{3}}}}={\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\tfrac {3}{2}}}}}={\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}}

We kunnen dus schrijven: ${\frac {3}{8}}=[0;2,1,2]$

Er geldt:

[a_{0};a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}

[a_{0};a_{1},a_{2}]=a_{0}+{\frac {a_{2}}{a_{1}a_{2}+1}}

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]=a_{0}+{\frac {a_{2}a_{3}+1}{a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}+a_{3}}}

Oneindige kettingbreuken

Een oneindige kettingbreuk is gezien het bovenstaande een irrationaal getal. Omgekeerd laat ook elk irrationaal getal zich schrijven als oneindige kettingbreuk. De oneindige kettingbreuken laten zich nog opdelen in periodieke en aperiodieke kettingbreuken.

De meeste irrationale getallen hebben geen periodieke of anderszins regelmatige kettingbreukontwikkeling. Alexander Khinchin bewees echter dat voor bijna alle reële getallen (alle reële getallen behalve een verzameling met maat nul) het meetkundig gemiddelde van de eerste $n$ $a$ 's uit de kettingbreuk voor $n$ naar oneindig één bepaalde limiet heeft, nu bekend als de constante van Khinchin, $K\approx 2{,}6854520010\ldots$ En Paul Lévy toonde aan dat de $n$ -de-machtswortels uit de noemers van de $n$ -de convergenten van bijna alle reële getallen convergeren naar dezelfde limiet, die daarom ook de constante van Lévy wordt genoemd.

Periodieke oneindige kettingbreuken

Een periodieke oneindige kettingbreuk stelt een irrationaal algebraïsch getal voor, dat een oplossing is van een vierkantsvergelijking met gehele coëfficiënten. Omgekeerd kan elke zodanige oplossing als periodieke oneindige kettingbreuk voorgesteld worden.

Patronen in aperiodieke oneindige kettingbreuken

Het is fascinerend dat sommige aperiodieke oneindige kettingbreuken toch regelmatige patronen vertonen.

Zo is de kettingbreukontwikkeling voor $e$

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]

En voor elk natuurlijk getal $n>1$ is:

\exp({\tfrac {1}{n}})=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]

De ontwikkeling voor het gulden getal $\varphi$ is als volgt:

\varphi =[1;1,1,1,1,\dots ]

Voor de tangens geldt:

\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,\dots ]

En voor elk natuurlijk getal $n>1$ :

\tan({\tfrac {1}{n}})=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]

.

En ook:

\tanh({\tfrac {1}{n}})=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,17n,19n,\dots ]

Aparte vermelding verdient ook de kettingbreuk:

S=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ]

,

de voorstelling van

S={\frac {I_{0}(2)}{I_{1}(2)}}

,

waarin $I_{n}$ de gemodificeerde Besselfunctie van de eerste soort is.

Het getal pi

Het begin van de kettingbreuk voor $\pi$ is [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. De successieve benaderingen zijn: 3, 22/7, 333/106, 355/113. Deze laatste, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035..., heeft de eerste zes decimalen correct.

Deze reguliere kettingbreukontwikkeling voor $\pi$ vertoont geen enkel regelmatig patroon. De beide volgende ontwikkelingen met algemene kettingbreuken daarentegen zijn uiterst regelmatig:

\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}

en:

\pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {9}{6+{\cfrac {25}{6+{\cfrac {49}{6+{\cfrac {81}{6+{\cfrac {121}{\ddots }}}}}}}}}}}}

Zie ook

Farey-rij

Bronnen, noten en/of referenties

Weisstein, Eric W. Continued Fraction, MathWorld

De beste benaderingen van de tweede soort in het triviale geval van een geheel getal (deze komen dan trouwens overeen met de beste benaderingen van de eerste soort), zijn één getal dat de enige gehele convergent is (de "nulde") of een van de twee gehele convergenten (de "nulde" en de "eerste"), of twee getallen waarvan een de enige gehele convergent is (de "nulde").

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] De beste benaderingen van de tweede soort in het triviale geval van een geheel getal (deze komen dan trouwens overeen met de beste benaderingen van de eerste soort), zijn één getal dat de enige gehele convergent is (de "nulde") of een van de twee gehele convergenten (de "nulde" en de "eerste"), of twee getallen waarvan een de enige gehele convergent is (de "nulde").