Bètafunctie

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde, die gedefinieerd is als

${\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t}$

voor complexe getallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$, wat wil zeggen dat ${\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\,{\rm {Re}}(y)>0)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}}$