Analytische getaltheorie

Een groot deel van de analytische getaltheorie werd geïnspireerd door de priemgetalstelling. Laat ${\displaystyle \pi (x)}$ de priemgetal-telfunctie zijn die voor elk reëel getal ${\displaystyle x}$ het aantal priemgetallen geeft dat kleiner dan of gelijk is aan ${\displaystyle x.}$ Zo is bijvoorbeeld ${\displaystyle \pi (10)=4,}$ omdat er precies vier priemgetallen, namelijk 2, 3, 5 en 7, kleiner dan of gelijk zijn aan 10. De priemgetalstelling zegt dat ${\displaystyle x/\ln(x)}$ een goede benadering is voor ${\displaystyle \pi (x),}$ in die zin dat de limiet, als ${\displaystyle x}$ tot oneindig nadert, van het quotiënt van de twee functies ${\displaystyle \pi (x)}$ en ${\displaystyle x/\ln(x)}$ gelijk is aan 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1}$

Deze uitdrukking staat bekend als de asymptotische wet van de verdeling van de priemgetallen.

Adrien-Marie Legendre uitte in 1797 of 1798 het vermoeden dat ${\displaystyle \pi (x)}$ wordt benaderd door de functie ${\displaystyle x/(A\ln(x)+B),}$ waarin ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ niet gespecificeerde constanten zijn. In de tweede editie van zijn boek over getaltheorie (1808) preciseerde hij zijn vermoeden, met ${\displaystyle A=1}$ en ${\displaystyle B=-1{,}08366.}$ Carl Friedrich Gauss had zich een aantal jaren eerder met dezelfde vraag beziggehouden: "Im Jahr 1792 oder 1793", volgens zijn eigen herinnering bijna zestig jaar later in een brief aan Encke (1849), schreef hij in zijn logaritmetabel (hij was toen 15 of 16) de korte notitie "Primzahlen unter ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$". Gauss heeft dit vermoeden echter nooit gepubliceerd. In 1838 kwam Peter Gustav Lejeune Dirichlet met zijn eigen benaderingsfunctie, de logaritmische integraalfunctie ${\displaystyle \mathrm {li} (x).}$ Zowel de formules van Legendre als Dirichlet impliceren dezelfde door beide vermoede asymptotische equivalentie van ${\displaystyle \pi (x)}$ en ${\displaystyle x/\ln(x),}$ hoewel het bleek dat Dirichlets benadering aanzienlijk beter is als men de verschillen in plaats van het quotiënten in beschouwing neemt.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wordt wel gezien als de man die de fundamenten voor de analytische getaltheorie heeft gelegd,[3] een onderzoeksgebied waarin hij verschillende diepe resultaten vond en waar hij tijdens het bewijs daarvan een aantal radicaal nieuwe gereedschappen introduceerde, waarvan vele later naar hem werden vernoemd. In 1837 publiceerde hij zijn stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen. Hij maakte daarbij gebruik van de wiskundig analytische concepten om zo algebraïsche probleem aan te pakken. Als doende werd hij de grondlegger van de analytische getaltheorie. In het bewijzen van deze stelling, introduceerde hij onder andere de Dirichlet-karakters en de L-functies.[3][4] In 1841 veralgemeende hij zijn stelling over rekenkundige rijen van gehele getallen naar ringen van Gaussiaanse gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$.[5]

In twee artikelen uit 1848 en 1850 probeerde de Russische wiskundige Pafnoeti Tsjebysjev de asymptotische wet van de distributie van priemgetallen te bewijzen. Zijn werk is opmerkelijk door het gebruik van de zèta-functie ${\displaystyle \zeta (s)}$ voor reële waarden van het argument ${\displaystyle s.}$ Net zoals werken van Leonhard Euler, die al uit 1737 dateren, dus ver vóór Riemanns gevierde artikel uit 1859. Tsjebysjev slaagde erin een iets zwakkere vorm van de asymptotische wet te bewijzen, namelijk dat indien de limiet van ${\displaystyle \pi (x)/(x/\ln(x))}$ als ${\displaystyle x}$ naar oneindig al bestaat, dat hij dan per definitie gelijk is aan een.[6] Hij was in staat om onvoorwaardelijk te bewijzen dat deze ratio zowel van boven als onder wordt begrensd door twee expliciet gegeven constanten die voor alle ${\displaystyle x}$ in de buurt van 1 liggen.[7] Hoewel Tsjebysjevs artikel niet de priemgetalstelling bewees, waren zijn ramingen voor ${\displaystyle \pi (x)}$ sterk genoeg om hem het postulaat van Bertrand te laten bewijzen dat er voor elk geheel getal ${\displaystyle n\geq 2}$ een priemgetal tussen ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle 2n}$ bestaat.

Bernhard Riemann deed een aantal beroemde bijdragen aan de moderne analytische getaltheorie. In een kort artikel (het enige dat hij over het onderzoeksgebied van de getaltheorie publiceerde), onderzocht hij de Riemann-zèta-functie en stelde hij het belang daarvan vast voor het begrijpen van de verdeling van de priemgetallen. Hij publiceerde een aantal vermoedens over eigenschappen van de zèta functie, waarvan de meest bekende de Riemann-hypothese is.

Voortbordurend op de ideeën van Riemann konden in 1896 twee wiskundigen, Jacques Hadamard en Charles-Jean de la Vallée Poussin, onafhankelijk van elkaar een bewijs voor de priemgetalstelling verkrijgen. Beide bewijzen werden in hetzelfde jaar (1896) gepubliceerd. Beide bewijzen maakten gebruik van methoden uit de complexe analyse en stelden als een belangrijke stap in het bewijs vast dat de Riemann-zèta-functie ${\displaystyle \zeta (s)}$ niet-nul is voor alle complexe waarden van de variabele ${\displaystyle s,}$ die de vorm ${\displaystyle s=1+it}$ met ${\displaystyle t>0}$ hebben.[8]

De grootste technische verandering sinds 1950 is de ontwikkeling van zeefmethoden geweest,[9] in het bijzonder voor multiplicatieve problemen. Deze problemen zijn in essentie combinatorisch van aard en zeer gevarieerd. Tegelijkertijd is de extreme tak van de combinatoriek sterk beïnvloed door de waarde die de analytische getaltheorie hecht aan het kwantificeren van bovenste en onderste grenzen. Een andere recente ontwikkeling is de "probabilistische getaltheorie"[10] die methoden uit de kansrekening gebruikt om de verdeling van getaltheoretische functies te schatten, zoals hoeveel priemdelers een getal heeft.

Ontwikkelingen binnen de analytische getaltheorie zijn vaak verfijningen van eerdere wiskundige technieken, die de fouttermen reduceren en zo de bruikbaarheid van de techniek vergroten. De cirkelmethode van Hardy en Littlewood werd bijvoorbeeld oorspronkelijk opgesteld als van toepassing op machtreeksen in de directe omgeving van de eenheidscirkel in het complexe vlak; maar wordt nu gezien in termen van eindige exponentiële sommen (dat wil zeggen op de eenheidscirkel, maar met afgebroken machtreeksen). De behoefte aan Diofantische benaderingsmethoden zijn voor hulpfuncties die niet tevens genererende functies zijn - hun coëfficiënten worden geconstrueerd door gebruik te maken van het duiventilprincipe - en hierbij zijn functies met meer dan één complexe variabele benodigd. De onderzoeksgebieden van de diofantische benadering en de transcendentietheorie hebben zich nadien uitgebreid, tot het punt dat de ontwikkelde technieken ook worden toegepast op het vermoeden van Mordell.