Dirichlet-L-functie

Als χ een primitief karakter is met χ (−1) = 1, dan liggen de enige nulpunten van L(s,χ) met Re (s) < 0 op de negatieve even gehele getallen.
Als χ een primitief karakter is met χ (−1) = −1, dan liggen de enige nulpunten van L(s,χ) met Re (s) < op de negatieve oneven gehele getallen.

Het is van nulpuntvrije regio's inclusief en voorbij de lijn Re(s) = 1, gelijkaardig aan die van de Riemann-zèta-functie, bekend dat zij bestaan voor alle Dirichlet-L-functies: bijvoorbeeld daar waar χ een niet-reëel karakter van modulus q heeft, geldt dat

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{(2+|\gamma |)\log q}}\ }$

waar β + iγ een niet-reëel nulpunt is.[1] Dat maakt dat er een Siegel-nulpunt zou kunnen bestaan.

Net zoals men van de Riemann-zèta-functie aan de Riemann-hypothese voldoet, zo wordt vermoed dat de Dirichlet-L-functies aan de veralgemeende Riemann-hypothese voldoen.

Aangezien een Dirichlet-karakter χ volledig multiplicatief is, kan haar L-functie ook worden geschreven als een Euler-product in het halfvlak van absolute convergentie:

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

waar het product over alle priemgetallen is.[2]

Laten wij aannemen dat χ een primitief karakter is met betrekking tot de modulus k. Onder de definitie

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}$

waar Γ de gammafunctie aangeeft en het symbool a wordt gegeven door

${\displaystyle a={\begin{cases}0;&{\mbox{if }}\chi (-1)=1,\\1;&{\mbox{if }}\chi (-1)=-1,\end{cases}}}$

heeft men dan de functionaalvergelijking

${\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}$

Hier schrijven wij τ(χ) voor de Gauss-som

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}$

Merk op dat ${\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{2}}$.

De Dirichlet L-functies kunnen worden geschreven als een lineaire combinatie van de Hurwitz-zèta-functie op rationale waarden. Na vastzetten van een geheel getal k ≥ 1, zijn de Dirichlet-L-functies voor karakter modulo k lineaire combinaties, met constante coëfficiënten, van de ζ(s,q), waar q = m/k en m = 1, 2, ..., k. Dit betekent dat de Hurwitz-zèta-functie voor rationele q analytische eigenschappen heeft, die nauw verwant zijn aan de Dirichlet L-functies. Laat χ specifiek een karakter modulo k zijn. Dan kunnen we haar Dirichlet-L-functie schrijven als

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right)}$.

In het bijzonder levert de Dirichlet-L-functie van het triviale karakter, wat impliceert dat de modulus k priem is, de Riemann-zèta-functie op:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).}$