Riemann-hypothese

Het reële (rood) en imaginaire deel (blauw) van de Riemann-zèta-functie langs de kritieke lijn ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$. De eerste niet-triviale nulpunten zijn zichtbaar bij ${\displaystyle \Im (s)=\pm 14{,}135,\pm 21{,}022}$ en ${\displaystyle \pm 25{,}011}$.

De Riemann-hypothese kan worden gezien als een verfijning van de priemgetalstelling. De priemgetalstelling geeft een nauwkeurige schatting voor het aantal priemgetallen en de Riemann-hypothese vertelt ons hoever de priemgetalstelling ernaast zit. Dit kunnen we preciezer schetsen aan de hand van de Chebyshev-psi-functie ${\displaystyle \psi (x)}$ die sterk verwant is aan de zèta-functie. Voor deze functie geldt de formule:[5]

${\displaystyle \psi (x)=x-\ln(2\pi )-\sum _{r}{\frac {x^{r}}{r}}}$

In deze formule loopt de som over alle niet triviale nulpunten r van de zèta-functie en moet gelden dat ${\displaystyle x>1}$. Er is een vergelijkbare formule voor de zèta-functie maar die is wat ingewikkelder. De priemgetalstelling is equivalent met de opmerking dat de term ${\displaystyle x}$ in de formule domineert, dus dat ongeveer ${\displaystyle \psi (x)=x}$. We zien dat dit alleen het geval is wanneer de niet-triviale nulpunten ${\displaystyle r}$ allemaal reëel deel kleiner dan 1 hebben. Hoe kleiner het reële deel van de nulpunten ${\displaystyle r}$, hoe beter de priemgetallen zich houden aan de schatting gegeven in de priemgetalstelling. De symmetrie van de zèta-functie rond reëel deel 1/2 laat zien dat er voor elke ${\displaystyle r}$ met reëel deel < 1/2 ook een nulpunt met reëel deel groter dan 1/2 moet zijn. Daarom is de situatie optimaal als alle nulpunten ${\displaystyle r}$ reëel deel 1/2 hadden. En dat is precies Riemanns hypothese: de best mogelijke situatie.

Deze grafiek toont de waarden van ${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)}$ in het complexe vlak voor ${\displaystyle 0\leq t\leq 34}$. (Voor ${\displaystyle t=0,\ \zeta ({\tfrac {1}{2}})\approx -1{,}460}$ komt dit overeen met het uiterst linkse punt van de rode kromme.)

De Riemann-zèta-functie is gedefinieerd voor complexe getallen ${\displaystyle s}$ met een reëel deel groter dan 1 als de volgende reeks, die absoluut convergerend is

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots }$

Leonhard Euler liet zien dat deze reeks gelijk is aan het Euler-product

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ priem}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\ldots }$

waarin het oneindige product zich over alle priemgetallen ${\displaystyle p}$ uitstrekt en weer convergeert voor elk complex getal ${\displaystyle s}$ met een reëel deel groter dan 1. De convergentie van het Euler-product laat zien dat ${\displaystyle \zeta (s)}$ geen nulpunten in deze regio heeft, aangezien geen van de factoren nulpunten heeft.

De Riemann-hypothese bespreekt de nulpunten buiten het convergentiegebied van deze reeks, dus moet de reeks analytisch voortgezet worden naar alle complexe ${\displaystyle s}$. Dit kan gedaan worden door de reeks als volgt uit te drukken in termen van de Dirichlet-èta-functie. Indien het reële deel van ${\displaystyle s}$ groter is dan 1, voldoet de zèta-functie aan

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\ldots }$

De reeks aan de rechterkant convergeert echter niet alleen als ${\displaystyle s}$ groter is dan een, maar meer in het algemeen als ${\displaystyle s}$ een positief reëel deel heeft. Deze alternatieve reeks breidt de zèta-functie dus uit van ${\displaystyle \Re (s)>1}$ naar het omvangrijkere domein ${\displaystyle \Re (s)>0}$, met uitzondering van de nulpunten ${\displaystyle s=1+2\pi \,i\,n/\ln(2)}$ van ${\displaystyle 1-2/2^{s}}$. De zèta-functie kan ook naar deze waarden worden uitgebreid door het nemen van limieten, gegeven een eindige waarde voor alle waarden van ${\displaystyle s}$ met positief reëel deel behalve voor een enkelvoudige pool in ${\displaystyle s=1}$.

In het gebied ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ voldoet de zèta-functie aan de functionaalvergelijking

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}$

Men kan ${\displaystyle \zeta (s)}$ nu definiëren voor alle overige niet-nulzijnde complexe getallen ${\displaystyle s}$ door aan te nemen dat deze vergelijking ook buiten dit gebied houdt, en door ${\displaystyle \zeta (s)}$ gelijk te laten zijn aan de rechterkant van de vergelijking als ${\displaystyle s}$ een niet-positief reëel deel heeft. Als ${\displaystyle s}$ een negatief even getal is, dan is ${\displaystyle \zeta (s)=0}$, omdat de factor ${\displaystyle \sin(\pi s/2)}$ in dit geval verdwijnt. Dit zijn de triviale nullen van de zèta-functie. In het geval dat ${\displaystyle s}$ een positief even getal is, is dit argument niet van toepassing, omdat de nullen van sin worden geannuleerd door de polen van de gammafunctie in geval van negatieve geheelgetallige argumenten.) De waarde ${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$ wordt niet bepaald door de functionaalvergelijking, maar is de grenswaarde van ${\displaystyle \zeta (s)}$ als ${\displaystyle s}$ tot nul nadert. De functionaalvergelijking houdt ook in dat de zèta-functie geen nullen heeft met negatief reëel gedeelte anders dan de triviale nullen, zodat alle niet-triviale nullen in het kritische gebied liggen, waar ${\displaystyle s}$ een reëel deel tussen 0 en 1 heeft.

Riemann vond in zijn artikel uit 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse een formule voor het aantal priemgetallen ${\displaystyle \pi (x)}$ onder een gegeven getal ${\displaystyle x}$, bijvoorbeeld alle priemgetallen onder de duizend. Zijn formule werd gegeven in termen van de gerelateerde functie

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{\frac {1}{2}})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{\frac {1}{3}})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{\frac {1}{4}})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{\frac {1}{5}})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{\frac {1}{6}})+\ldots }$

die priemgetallen en machten van priemgetallen tot aan ${\displaystyle x}$ telt waarin een priemmacht ${\displaystyle p^{n}}$ als ${\displaystyle 1/n}$ van een priemgetal telt. Het aantal priemgetallen kan uit deze functie worden bepaald door

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{\frac {1}{n}})=\Pi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Pi (x^{\frac {1}{2}})-{\tfrac {1}{3}}\Pi (x^{\frac {1}{3}})-{\tfrac {1}{5}}\Pi (x^{\frac {1}{5}})+{\tfrac {1}{6}}\Pi (x^{\frac {1}{6}})-\ldots }$,

waarin ${\displaystyle \mu }$ de Möbiusfunctie is. De formule van Riemann luidt dan

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\log(t)}}}$

waarbij de som over de niet-triviale nulpunten van de zèta-functie is en waar ${\displaystyle \Pi _{0}}$ een licht gewijzigde versie van ${\displaystyle \Pi }$ is, die in haar punten van discontinuïteit haar waarde vervangt door het gemiddelde van de boven- en ondergrens :

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}}$

De sommatie in Riemanns formule is niet absoluut convergerend, maar kan worden geëvalueerd door de nullen ${\displaystyle \rho }$ in de volgorde van de absolute waarde van het imaginaire deel te nemen. De functie Li, die in de eerste term voorkomt, is de (unoffset) logaritmische integraalfunctie, die wordt gegeven door de Cauchy-hoofdwaarde van de divergerende integraal

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\log(t)}}}$

De termen ${\displaystyle \operatorname {Li} (x^{\rho })}$ die betrekking hebben op de nulpunten van de zèta-functie moeten zorgvuldig worden gedefinieerd aangezien ${\displaystyle \operatorname {Li} }$ vertakkingspunten in 0 en 1 heeft. De termen ${\displaystyle \operatorname {Li} (x^{\rho })}$ worden (voor ${\displaystyle x>1}$) gedefinieerd door analytische voortzetting in de complexe variabele ρ in het gebied ${\displaystyle \Re (\rho )>0}$, dat wil zeggen dat zij moeten worden beschouwd als de exponentiële integraal ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\rho \ln x)}$. De andere termen corresponderen ook met nulpunten: de dominante term ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$ komt van de pool in ${\displaystyle s=1}$, die kan worden beschouwd als een nulpunt van multipliciteit −1. De resterende kleine termen komen van de triviale nulpunten. Voor sommige grafieken van de sommen van de eerste paar termen van deze reeks zie Riesel en Göhl (1970) of Zagier (1977).

Deze formule zegt dat de nulpunten van de Riemann-zèta-functie de oscillaties van priemgetallen rond hun "verwachte" posities controleren. Riemann wist dat de niet-triviale nulpunten van de zèta-functie symmetrisch verdeeld waren over de lijn ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}+it}$ en dat al haar niet-triviale nulpunten in het bereik ${\displaystyle 0\leq \Re (s)\leq 1}$ moesten liggen. Hij controleerde dat voor een aantal van de nulpunten op de kritische lijn met de reëel gedeelte 1/2 en suggereerde vervolgens dat zij dat allemaal zouden doen; dit is de Riemann-hypothese.

De praktische toepassingen van de Riemann-hypothese omvatten vele proposities waarvan bekend is dat zij waar zijn onder de Riemann-hypothese en sommige waarvan is aangetoond dat zij equivalent zijn met de Riemann-hypothese.