Argument (complex getal)

Onder argument van een complex getal ${\displaystyle z}$ verstaat men in de complexe analyse een op een geheel veelvoud na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar ${\displaystyle z}$ maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van ${\displaystyle z}$ wordt weergegeven als ${\displaystyle \arg(z)}$. Het argument van ${\displaystyle z}$ met een waarde tussen 0 en ${\displaystyle 2\pi }$ wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd, en wordt wel genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt ${\displaystyle z}$ in het complexe vlak, In plaats van de beperking tot waarden in het interval ${\displaystyle [0,2\pi ),}$ wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ gekozen.

Het argument ${\displaystyle \theta }$ van een complex getal.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ van het complexe getal ${\displaystyle z=x+iy}$ kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie Arctan2 bepaald worden.

${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)=\mathrm {Arctan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{voor}}\ x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,y<0\\+{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y>0\\-{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y<0\\{\text{onbepaald}}&{\mbox{voor}}\ x=0,\ y=0\\\end{cases}}}$

Een complex getal ${\displaystyle z}$ kan met behulp van ${\displaystyle \arg(z)}$ en z'n modulus ${\displaystyle |z|}$ als volgt worden weergegeven:

${\displaystyle z=|z|(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))=|z|e^{i\arg(z)}}$

Als ${\displaystyle z}$ geen zuiver imaginair getal getal is (dus niet op de verticale as ligt), geldt:

${\displaystyle \tan \arg z={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{z+{\bar {z}}}},}$

waarin ${\displaystyle {\bar {z}}}$ de complex geconjugeerde is van ${\displaystyle z.}$