Geheel getal van Gauss

Formeel gedefinieerd zijn de gehele getallen van Gauss de verzameling

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$

De norm van een geheel getal van Gauss is gedefinieerd als het kwadraat van de absolute waarde:

${\displaystyle N(a+bi)=|a+bi|^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=a^{2}+b^{2}}$

Door het kwadraat van de absolute waarde als norm te nemen is de norm een natuurlijk getal.

De norm is multiplicatief, wat wil zeggen dat

${\displaystyle N(z\cdot w)=N(z)\cdot N(w)}$

De eenhedengroep ${\displaystyle Z(i)}$ in de ring van gehele getallen van Gauss is de cyclische groep die wordt voortgebracht door ${\displaystyle i}$. De groep bestaat uit de elementen ${\displaystyle i,\,-1,\,i}$ en ${\displaystyle -i}$. Het betreft juist de gehele getallen van Gauss met norm 1.

Enige van de priemgetallen van Gauss

De gehele getallen van Gauss vormen een uniek factorisatiedomein met eenheden ${\displaystyle i,\,-1,\,i}$ en ${\displaystyle -i}$.

De priemelementen van ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ staan ook bekend als de priemgetallen van Gauss.

Een geheel getal van Gauss ${\displaystyle a+bi}$ is priem dan en slechts dan als:

• ${\displaystyle a}$ of ${\displaystyle b}$ gelijk is aan nul en de ander een priemgetal is van de vorm

${\displaystyle 4n+3}$ of zijn negatieve ${\displaystyle -(4n+3)}$

• zowel ${\displaystyle a}$ als ${\displaystyle b}$ ongelijk zijn aan 0 en

${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ een priemgetal is.

De ring van de gehele getallen van Gauss werd door Carl Friedrich Gauss in 1829 - 1831 geïntroduceerd,[1] als een bijproduct van zijn studie naar de reciprociteitswetten, die weer generalisaties zijn van de stelling van kwadratische reciprociteit, die door Gauss in 1796 voor het eerste werd bewezen. Gauss zocht in het bijzonder naar relaties tussen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$, zodat ${\displaystyle q}$ een kubisch residue van ${\displaystyle p}$ moet zijn (dat wil zeggen ${\displaystyle x^{3}\equiv q\!\!\!\mod p}$) of zo dat ${\displaystyle q}$ een restwaarde van het bikwadratisch residue van ${\displaystyle p}$ moest zijn (dit is ${\displaystyle x^{4}\equiv q\!\!\!\mod p}$). Tijdens dit onderzoek ontdekte Gauss dat sommige resultaten gemakkelijker bewezen konden worden wanneer hij met de ring van gehele getallen van Gauss werkte, in plaats van met de gewone gehele getallen.

Hij ontwikkelde de eigenschappen van factorisatie en bewees de uniciteit van factoriseren in priemgetallen in ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, en hoewel hij hierover weinig publiceerde, liet hij enige commentaren achter die erop duiden dat hij zich bewust van de betekenis van gehele getallen van Eisenstein in het stellen en bewijzen van resultaten op het gebied van kubische reciprociteit.

Het cirkelprobleem van Gauss heeft als zodanig niet per se een relatie met de gehele getallen van Gauss, maar vraagt in plaats daarvan naar het aantal roosterpunten binnen een cirkel met een gegeven straal gecentreerd om de oorsprong. Dit is gelijkwaardig met het bepalen van het aantal gehele getallen van Gauss met een norm kleiner dan deze gegeven straal.

Er bestaan ook vermoedens en onopgeloste problemen met betrekking tot de Gauss-priemgetallen. Twee daarvan zijn:

1. De reële en imaginaire assen hebben de oneindige verzameling van Gauss-priemgetallen 3, 7, 11, 19, ... en hun geassocieerden. Bestaan er enige andere lijnen die oneindig veel Gauss-priemgetallen op zich hebben? In het bijzonder bestaan er oneindig veel Gauss-priemgetallen van de vorm ${\displaystyle 1+ki}$?[2]
2. Is het mogelijk om naar oneindig te wandelen door gebruik te maken van de Gauss-priemgetallen als stapstenen, en door stappen van begrensde lengte te nemen?