Gumbel-verdeling

De standaard gumbel-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie:

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R} }$

en kansdichtheid:

${\displaystyle f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}},~x\in \mathbb {R} }$

Door hernormering ontstaat de gumbel-verdeling met parameters ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle \beta }$, waarvan de verdelingsfunctie wordt gegeven door:

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{(\mu -x)/\beta }},~x\in \mathbb {R} }$

De verwachtingswaarde is

${\displaystyle \mu +\gamma \beta }$,

waarin ${\displaystyle \gamma }$ de constante van Euler is.

${\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}$

De standaardafwijking is

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sqrt {6}}}\beta }$

De mediaan is

${\displaystyle \mu -\beta \log(\log(2))}$

De modus is ${\displaystyle \mu }$.

Gumbel-papier met een gumbel-verdeling.