Lie-algebra

Een Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is een (niet noodzakelijk associatief) type algebra over een lichaam (NL)/veld (B) ${\displaystyle F}$, met als binaire operatie op de vectorruimte ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de zogeheten Lie-haak:

${\displaystyle [\ \cdot \,,\cdot \ ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

die voldoet aan de volgende axioma's[1]:

• Bilineariteit:

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

voor alle scalairen ${\displaystyle a,b\in F}$ en voor alle elementen ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}.}$

• Anticommutativiteit, of scheef-symmetrie:

${\displaystyle [x,x]=0}$

voor alle ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}.}$

Als de karakteristiek van ${\displaystyle F}$ verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat

${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$

voor alle ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

• De Jacobi-identiteit:

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

voor alle ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}.}$

Voor elke associatieve algebra ${\displaystyle A}$ met vermenigvuldiging ${\displaystyle *}$, kan men een Lie-algebra ${\displaystyle L(A)}$ construeren. Als vectorruimte is ${\displaystyle L(A)}$ gelijk aan ${\displaystyle A}$ en de Lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}$

De associativiteit van de vermenigvuldiging ${\displaystyle *}$ in ${\displaystyle A}$ impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in ${\displaystyle L(A)}$. In het bijzonder geeft de associatieve algebra van ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een lichaam/veld ${\displaystyle F}$ aanleiding tot de algemene lineaire Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$. De associatieve algebra ${\displaystyle A}$ wordt de omhullende algebra van de Lie-algebra ${\displaystyle L(A)}$ genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.

Het bijzondere geval waarbij ${\displaystyle [x,y]}$ steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte ${\displaystyle K^{3}}$ over een willekeurig lichaam ${\displaystyle K}$, een Lie-algebra.

Als ${\displaystyle M}$ een gladde variëteit is, en ${\displaystyle TM}$ haar raakbundel, dan vormen de sneden van ${\displaystyle TM}$ een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.

Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak ${\displaystyle [.,.]}$