Scalaire vermenigvuldiging

Zij ${\displaystyle R\times M}$ het cartesisch product van een ring ${\displaystyle R}$ met een commutatieve groep ${\displaystyle M}$.

Formeel is een scalaire vermenigvuldiging een afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle R\times M}$ naar ${\displaystyle M}$ die op de volgende wijze compatibel is met de ring- en groepsstructuur:

1. Linksdistributief: ${\displaystyle \forall r_{1},r_{2}\in R,m\in M:f(r_{1}+r_{2},m)=f(r_{1},m)+f(r_{2},m)}$
2. Rechtsdistributief: ${\displaystyle \forall r\in R,m_{1},m_{2}\in M:f(r,m_{1}+m_{2})=f(r,m_{1})+f(r,m_{2})}$
3. Gemengd associatief: ${\displaystyle \forall r_{1},r_{2}\in R,m\in M:f(r_{1}.r_{2},m)=f(r_{1},f(r_{2},m))}$

In de context van commutatieve ringen met eenheidselement eist men bovendien meestal dat

${\displaystyle f(1,m)=m}$.

Bovenstaande functionele notatie is omslachtig, en men noteert het scalair product van ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle m}$ gewoon ${\displaystyle rm}$

Een dergelijke combinatie ${\displaystyle (R,M,f)}$ noemt men een (linker)moduul. Als ${\displaystyle R}$ een lichaam is, spreken we van een vectorruimte.

De vector ${\displaystyle r{\mathbf {m} }}$ is een uitgerekte of ingekrompen versie van de vector ${\displaystyle {\mathbf {m} }}$, en ${\displaystyle r}$ is de schaalfactor.

Opmerking: als ${\displaystyle {\mathbf {m} _{1}}}$ en ${\displaystyle {\mathbf {m} _{2}}}$ twee verschillende vectoren zijn en ${\displaystyle r}$ een schaalfactor verschillend van 0, dan is de rechte die ${\displaystyle {\mathbf {m} _{1}}}$ en ${\displaystyle {\mathbf {m} _{2}}}$ verbindt, evenwijdig met de rechte die ${\displaystyle r{\mathbf {m} _{1}}}$ en ${\displaystyle r{\mathbf {m} _{2}}}$ verbindt.

• Opblazen van het reële coördinatenvlak met een reële schaalfactor ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}:(r,(x,y))\mapsto (rx,ry)}$

• ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} :(z,r)\mapsto zr}$
• Algemener, zij ${\displaystyle G}$ een willekeurige commutatieve groep:

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times G\to G:(z,g)\mapsto g+g+\cdots +g}$ (${\displaystyle z}$ keer)

(als ${\displaystyle z}$ negatief is, ${\displaystyle |z|}$ keer het invers element van ${\displaystyle g}$ bij zichzelf optellen)

• Bovenstaande afbeelding bestaat nog steeds als ${\displaystyle G}$ niet commutatief is, maar ze respecteert niet langer de distributiviteitseigenschappen.
• Noteer ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}}$ voor het commutatief lichaam der restklassen bij deling door ${\displaystyle 2}$, en zij ${\displaystyle G}$ een commutatieve groep. De afbeelding die ${\displaystyle ({\overline {0}},g)}$ op ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle ({\overline {1}},g)}$ op ${\displaystyle g}$ afbeeldt, is een scalaire vermenigvuldiging.